フィボナッチ級数

映画で観た「ダ・ヴィンチ・コード」の本を読むと、謎解きに「フィボナッチ級数」が出る。
なかなかユニークな数列なので調べてみた。

フィボナッチ数列とは、レオナルド・ダ・ビンチでなくレオナルド・ディカプリオでもなく13世紀のイタリアの数学家レオナルド・フィボナッチが1202年にウサギの出生率に関する数学的解法で、下のように無限に続く数列をいう。

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 ・・・
フィボナッチ数列の驚くべき特徴をご覧ください。うなってしまいます。
（１）数列に連続する２つの和は、その上位数になる。
　　　例えば、１， ２，３　に着目すると、１＋２＝３，
　　　他に、　５＋８＝１３　、　２１＋３４＝５５　など

（２）最初の２つの数字を除いて、一間飛びの数字で割り算すると商が２、余りがその下の数字となる。
　　　例えば、５， ８， １３， ２１　に着目すると、　２１÷８＝２　余り５
　　　他にも、
　　　３４÷１３＝２余り８，　５５÷２１＝２余り１３　など

（３）どの数字も上位の数字に対して0.618:１に近づいていく。
　　　１÷２＝0.5，２÷３＝0.67，３÷５＝0.6，５÷８＝0.625，
　　　８÷１３＝0.615，１３÷２１＝0.619，２１÷３４＝0.618　という具合だ。

（４）どの数字も下位の数字に対して1.618:１に近づいていく。
　　　２÷１＝２，３÷２＝1.5，５÷３＝1.667，８÷５＝1.6，
　　　１３÷８＝1.625，２１÷１３＝1.615，３４÷２１＝1.619

（５）どの数字も２つ上位の数字に対して0.382:１に近づいていく。
　　　８÷２１＝0.381，１３÷３４＝0.382，２１÷５５＝0.382

（６）どの数字も２つ下位の数字に対して2.618:１に近づいていく。
　　　２１÷８＝2.625，３４÷１３＝2.615，５５÷２１＝2.619

（７）上記４つの比率の相関関係には、次の特徴がある。
　　　2.618-1.618=１，1.618-0.618＝１，1-0.618＝0.382
　　　2.618×0.382＝１，2.618×0.618＝1.618，1.618×0.618＝１
　　　0.618×0.168＝0.382，1.618×1.618＝2.618

上記の比率（0.618、1.618）は古代ギリシャやエジプトで黄金比率、黄金分割などと呼ばれていたもので、美術、建築、音楽、生物学などに応用されている。
代表的な黄金分割図形としてはペンタグラム（五茫星）があり、辺の比率が1:0.618:1と言う具合に黄金分割になっている。

数列の初期段階においては顕著ではないが，一般に隣り合う項の比は常に 0.618（またはその逆数の 1.618）となる。これが黄金分割比と呼ばれる不思議な性質を持った数字で，古来より建築やデザインなどの分野で応用された例があり、宇宙で見られる現象（星雲の渦巻きなど）に黄金分割比を使って説明できる法則が知られている。

電卓をもって確かめてね。どこまでついてこれた？　
フィボナッチの渦巻き

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・つづく