前回｢#8-1｣では､第6,7節でのガロアの主張である”素次数の既約方程式がべき根で解ける為の必十条件は､全ての根がその中の2つの根により有理的に表される”事を紹介しました。 ガロアは､”素数次既約方程式がべき根で解けるならば､その方程式の群はxₖ､xₐₖ₊ₑの形の置換のみを含む必要がある”としたが､その逆も示す事で､”素数次既約方程式 . . . 本文を読む
ガロアの第一論文の中で最も重要なのは､｢#7-1｣と｢#7-2｣で述べた第5節にあり､第6､7､8節の内容が述べられる事は殆どない。 つまり､方程式をべき根で解ける事は第5節で完全に解明された訳であり､その後のガロア理論は方程式を離れ､群や体の理論として大きく発展する。故に､現代のガロア理論は方程式の痕跡すら残ってはいない。 方程式を解の置換に置き換えた､対称群としての研究はガロア以前にも成され . . . 本文を読む
前回｢#7の1｣では､第5節の前半まで紹介しました。ガロアが[定理5]で述べた”上記の条件”とは､”ガロア群に正規部分群が存在し､その剰余類群の位数が素数”という事でした。 つまり､上記の様にしてラグランジュの分解式Eを作れば､Eᵖはこの正規部分群で不変となり､求める事が可能となる。 故に､そのp乗根を求める事でEが求まり､Eを元の方程式の基礎体に . . . 本文を読む
前回｢#6｣では､ガロアは”体K(r)に群Hが対応する”事を主張した。 これは､ガロア理論の中核にある｢対応定理｣とも言え､”体Kのガロア群をGとすると､拡大体K(V)のガロア群は単位置換{ε}だけとなる。この時､体Kと体K(V)との間に中間体K(r)があれば､それに対応するGの部分群Hが存在し､またGの部分群Hが存在すれば中間体K(r)が存在 . . . 本文を読む
前回｢#5｣では､ガロア群の中に正規部分群の存在を示したガロアでしたが､今日紹介する第4節では”(元の方程式に)根の有理式の値を添加すれば､その値を不変とする所までガロア群が縮小する”事を述べている。 第8章〜ラグランジュの定理 第4節では､”ある方程式にその根の有理式の値を添加すればその方程式の群は､この有理式を不変にする順列以外は含まない様に､小さくなる。 . . . 本文を読む
前回｢#4-2｣では､Hの全ての置換に､τ⁻¹στの操作をすれば､H₁の全ての置換を得る事が判った。 つまり､K(r)のガロア群がH､K(r₁)のガロア群がH₁､K(r₂)のガロア群がH₂､…とする。但し､h(x.r)=0の根の1つをV､h(x.r₁)=0の根の1つをV₁､h(x.r₂)=0の根の1つをV₂､…とした時､τ . . . 本文を読む
第2節の後半ですが､｢前半｣で述べたガロアの主張(1)を2つに分けて考察し､その後に正規部分群に繋がる､主張(2)を説明します。主張(1)を完璧にマスターすれば､難解とされる主張(2)は意外にも簡単に理解できそうです。 以下､長らくお付き合いください。(1)の考察 まず､主張(1)を2つの部分に分けて考える。 ①K(r)上でガロア方程式が因数分解された場合､群が縮小する。但し､補助方程式はK上の . . . 本文を読む
前回｢#3｣では､ガロアの第一論文の第1節を紹介しましたが､これから紹介する第2~4節は非常に厄介で”これらの証明を完璧にする為に必要なものがあるが､僕には時間がない”と殴り書きしてる様に､ガロア自身もかなり困窮している。 因みに､遺書の中には3つの論文が含まれ､第1論文は(フーリエとコーシーが紛失した)パリの論文を改定した有名な”ガロア理論”であ . . . 本文を読む
第1節に入る前に､｢序章｣で紹介した群の基本定理の3つは以降でも述べるので省略し､これまでの3話で紹介した4つ補題を簡単に振り返ります。 [補題1]は”有理多項式と既約多項式が共通根を持てば､有理多項式は既約多項式で割り切れる”は､多項式を整数に置き換えれば明らかである。[補題2]の”重根を持たない方程式の根をa,b,c,…とすると､根の置換によ . . . 本文を読む
前々回の｢プロローグ｣で紹介した[補題1]ですが､”既役な方程式は､有理的な方程式を割り切る時を除けば､共通根を持つ事はない”とガロアは述べてるが､f(x)=0とF(x)=0が共通根αを持てば､F(x)がf(x)で割り切れる筈であり､”a,b,c,…が全て共通根になるのでは？”と思った人も多いだろう。 だが､f(x)=0が . . . 本文を読む