ガロアの最終論文(#5)〜正規部分群の発見〜第3節

　前回｢#4-2｣では､Hの全ての置換に､τ⁻¹στの操作をすれば､H₁の全ての置換を得る事が判った。
　つまり､K(r)のガロア群がH､K(r₁)のガロア群がH₁､K(r₂)のガロア群がH₂､…とする。但し､h(x.r)=0の根の1つをV､h(x.r₁)=0の根の1つをV₁､h(x.r₂)=0の根の1つをV₂､…とした時､τ₁:(V→Vₖ)､τ₂:(V→V₂ₖ)､…とすれば､H₁=τ₁⁻¹Hτ₁､H₂=τ₂⁻¹Hτ₂､…が成立する事を結論づけた。
　これは､置換τᵢをガロア群の要素とすると､現代の記法に従えば､”Hはガロア群の正規部分群”となる。
　そこで今日は､第3節の正規部分群の発見について述べたいと思います。 

第7章〜正規部分群あらわる

　第3節では､ガロアは”与えられた方程式に補助方程式の全ての根を添加すれば､(前々回｢4-1｣の)[定理2]で議論した群の置換は同一になる”[定理3]と述べ､”証明は思いつくだろう”と書いている。
　｢4-1｣の第2節では､Kにrを添加した体Kのガロア群がHであったが､Hはrを変えない置換の集まりだったから､例えばrを変えずr₁をr₂に変える様な置換も含まれる。
　そこで､Kに素次数pの補助方程式s(y)=0の根r,r₁,r₂,…,rₚ₋₁を全て添加したK(r,r₁,r₂,…,rₚ₋₁)のガロア群をJとすると､Jはr,r₁,r₂,…,rₚ₋₁を変えない置換の集まりである。
　つまり､元の方程式のガロア群Gと群H､群Jの関係は以下の様になる。
　体Kの元――群Gの置換で不変
　体K(r)の元――群Hの置換で不変
　体K(r,r₁,r₂,…,rₚ₋₁)の元―群Jの置換で不変
　体K(V)の元――{ε}で不変(つまり､ε以外のあらゆる置換で変化する)　
　これら群の包含関係は､G⊃H⊃J⊃{ε}となる。

　ここで､｢#4-2｣の第2節(2)で議論した群の置換とは､順列F(V)から順列F(V’)に移行する為には､順列(V)から順列(V’)に移行するのと同じ置換を施す必要がある事だった。つまり､第3節はこの結果が全部等しくなる事を言っている。
　そこで､rᵢをrⱼに変える置換をτとする。τがrᵢ→rⱼならばτ⁻¹がrⱼ→rᵢに注意し､τ⁻¹Jτの任意の置換でτがどう変化するかを調べる。
　まず､τ⁻¹でrⱼ→rᵢである。次に､Jの置換はr,r₁,r₂,…,rₚ₋₁を変えないのでrᵢ→rⱼとなり､更に､τでrᵢ→rⱼとなる。故に､τ⁻¹Jτはrⱼを変えない置換の集合となり､τ⁻¹Jτ⊃Jが成立。
　ここで､τを左からτ⁻¹を右から掛け､τとτ⁻¹を入替えるとJ⊃τ⁻¹Jτとなり､τ⁻¹Hτ=Hを得る。Jの元θとτ⁻¹Jτの元τ⁻¹θτが1対1対応からも明らかですね。
　この様に､ある群Gの部分群HがGの全ての元τに対し､τ⁻¹Hτ=Hが成立する時､”HをGの正規部分群”という。この式は左からτを掛けるとττ⁻¹Hτ=τHとなり､Hτ=τHを得る。
　つまり､HはGの全ての元と交換法則が成立する。但し､Hの元1つ1つが可換ではなく､Hという1つの塊が・・という意味である。
　また､τ⁻¹=σとするとσ=τ⁻¹なので､σHσ⁻¹=Hとなり､τ⁻¹Hτ=HとHτ=τHとτHτ⁻¹=Hの3式は同じとなる。
　以上より､この第3節でガロアしか見抜けなかった”正規部分群”が現れた事になる。

　そこで､正規部分群と対称群の関係だが､例えば､3次対称群S3={ε,(12),(13),(23),(123),(132)}を考える。εは単位置換､(12),(13),(23)はそれぞれ3,2,1を固定した互換､(123),(132)は右左の巡回置換である。故に､巡回置換(abc)はa→b→cとなる。
　この時､H={ε,(123),(132)}は正規部分群になる。そこで､Hの1つ1つの元に対し､Hに含まれない元(12)を持ってきて､左から(12)⁻¹を右から(12)を掛けると､但し､置換の積は右から操作するので､(12)⁻¹ε(12)=ε､(12)⁻¹(123)(12)は123→213→321→312=(132)､(12)⁻¹(132)(12)は123→213→132→231=(123)となる。但し､312は1→3,2→1,3→2になる置換なので､(132)となるのは明らかですね。
　故に､(123)と(132)は入れ替わるが､Hとしては変化しない。
　因みに､長さ(位数)2の巡回を互換と言い､長さ(位数)3の巡回置換(123),(132)は正規部分群を成す。また､(全ての元で交換法則な成り立つ)可換群ではあらゆる部分群が正規部分群となる。一方で､εは任意の置換でτ⁻¹Hτ=τ⁻¹τ=εが成り立つので､全ての置換群の正規部分群となり､故に､{ε,(123),(132)}が正規部分群になる事が言えた。

　因みにガロアは､こうした性質を持つ部分群を”正規”とは名付けなかったが､その重要性を最初に示したのはまさに彼の偉業である。
　｢ガロアの論文を読んでみた｣の金重明氏は”名を正す”との孔子の言葉を挙げてるが､数学では定義や記号の前に”名前をつける”という行為はとても重要な事である。
　という事で､珍しく短いですが､今日はここで終了です。次回は第4節で正規部分群の定義について述べたいと思います。