｢数学は計算の上を飛ぶ｣に寄せられたコメントに､ダイヤル数ってのがあった。 ダイヤル数とは､その数に2､3､4を掛けた時､その値が各桁の数を順序を崩さずに巡回させた数となる。 例えば､142857は有名なダイヤル数だが､”巡回数”とも呼ばれ､142857×a(a=1,2,...,6)の値は142857を巡回させた数になる。 事実､142857×2= . . . 本文を読む
前回｢その6｣では､エニグマ暗号の限界とチューリングによるエニグマ解読の歴史を紹介しました。そのチューリングですが､自身が発明した万能計算機によって､代数学における”計算の不完全性”を実証しましたが､”数学の不完全性”となると､そこには明確な矛盾と限界があった事は歪めませんでした。 その後､チューリングは自身の万能計算機で数学史上の未解決問題とされ . . . 本文を読む
前回｢その5｣では､イデアル類群Cₖ={Pₖ,P₀Pₖ}を2次体K=Q(√(−5))を例に挙げ､イデアル類群の前身となる｢ラグランジュの定理｣(1773)について説明しました。 因みに､イデアル類群Cₖの位数|Cₖ|を類数と呼びますが､イデアル類群の発見より以前に､2元2次形式に対する同値類(同値関係を満たす元の集合)の数として､その類数(イデアル類群の位数)は研究されて . . . 本文を読む
前回｢その5｣では､古代ギリシャのカエサル暗号から換字式暗号が生まれ､これに鍵語を加え､複雑にしたものが”ヴィジュネル暗号”の発明に繋がり､それを解読したバベッジについて述べました。 だが､ヴィジュネル暗号もその周期性に注目したカシスキーテストに突破され､更に文字の偏りを推測する”クリブ”攻撃により高度に複雑化したヴィジュネル暗号も姿を消す。 そこ . . . 本文を読む
前回｢その4｣はRSA暗号の仕組みと起源について詳しく述べましたが､今回は少し寄り道して､エニグマやRSA暗号以前の暗号について紹介します。 まずは暗号の前に､数表と計算機のお話からです。 4000年前の古代エジプトに始まる三角法の歴史は､三角関数表作成と共に発展した。 古代ギリシャのプトレマイオス(83-168)､15世紀ドイツの天文学者レギオモンタヌス(1436-1476)､16世紀オースト . . . 本文を読む
前回｢その3｣では､RSA暗号の秘密の鍵である2つの素数pとqからなるN(=pq)時間の時計計算機について､まず説明しました。 一方で､RSAアルゴリズムの起源となる｢フェルマーの小定理｣はオイラーが一般化した事で､｢オイラーの定理｣とも呼ばれます。 その後1977年に､RSA暗号の発見者の1人であるリヴェスト(R•L•Rivest)が､時計計算機を使ってRSA暗号を完成さ . . . 本文を読む
一時､大衆の間でもワイドショーを賑わす専門家被れが過ぎたせいか､リテラシーやエビデンスというウケのいい言葉が大いに流行った。更に､この2つの言葉を知らないと､SNSではバカにされるかの様な錯覚に陥ったもんだ。 まず､エビデンスとは元々医療用語で根拠との意味があったそうだが､今では､証拠や根拠や裏付けの意味で､SNS上を独り歩きする陰謀説やデマを検証する時に大きな武器となる。 一方で､リテラシーだ . . . 本文を読む
前回｢その8｣では､バーゼル問題の完璧な証明となる”オイラー･マクローリン法”の詳細を述べましたが､少し判りにくかったでしょうか。 1734年の最初の証明は､非常に画期的なものでしたが幾つかの問題があった。が､その10年後にオイラーは､無限解析を用いて完璧な証明を与えます。 この完全なる”バーゼル問題”の証明(1745､1748)では､オイラーはま . . . 本文を読む
イデアルの概念に慣れ親しんで頂く為に､前回｢その4｣の最後の補足とその続きを見ていきますが､イデアル類群Cₖ={Pₖ,P₀Pₖ}の計算をK=Q(√(−5))と言う2次体の例を使って説明しました。 更にその応用として､xとyの2元2次形式のx²+5y²で表す事のできる素数pについては､以下の｢ラグランジュの定理｣が有名でした。 つまり､”素数 . . . 本文を読む
偶然にも､この記事のタイトルと同じ著書｢高木貞治とその時代:西欧近代の数学と日本｣(高瀬正仁著､2014)があった。同じ様なタイトルに､｢アーベルとその時代｣(Aストーブハウグ著､2003)があるが､前者は”時代”をEraと書き､後者はTimesとしている。 例えば､Eraは元号などで区切られる時代を指し､江戸時代以前はPeriodを使ったという。一方､Timesは一般的 . . . 本文を読む