”積分論は難しい”と嘆く日本人へ(前編)〜リーマン積分とスティルチェス積分とルベーグ積分の違い

　”定積分”と聞いて先ず思い浮かぶのが､高校で学習した∫[a,b]f(x)dxという形の積分(代数的積分)でした。
　この様な形の積分を”リーマン積分”と呼びますが､リーマン積分は連続でない関数に対しても定義され､高校では連続関数のみを積分の対象としました。
　一方リーマン積分は､スティルチェス積分と呼ばれる積分に一般化され､”リーマン=スティルチェス積分”とも呼ばれる。
　この事を簡単に説明すれば､g(x)が区間[a,b]上の単調増加な(x∫[a,b]f(x)dg(x)という形の積分が定義できる。これこそがスティルチェス積分と呼ばれるものだが､g(x)=xとすれば∫[a,b]f(x)dxとなり､先程に述べたリーマン積分となる。一方で､g’(x)=dg(x)/dxより､∫[a,b]f(x)dg(x)=∫[a,b]f(x)g’(x)dxが言え､部分積分が使える事が判る。
　例えば､f(x)=sinxとし､区間[0,π/4]上の関数g(x)=x²と定義すれば､g(x)はこの区間で単調増加であり､部分積分により∫[0,π/4]sin⁡xdg(x)=∫[0,π/4]sin⁡xdx²=2−π/2√2が求まる。
　故に､高校レヴェルの定積分でもリーマン=スティルチェス積分を理解する事は可能なのだ。

リーマン積分とスティルチェス積分

　元々積分とは､”区分求積法”の様に細い短冊を足し合わせ､関数f(x)とx軸の区間[a,b]に挟まれた図形の面積S=∫[a,b]f(x)dxを､短冊の幅(b-a)/nを極限(n→∞)にまで狭める事で正確に求める手法でした(図1)。故に､”区分求積法を極限にまで拡張したものが定積分”とも言える。
　この区分求積法は初等的な求積法の為に連続関数を扱う高校数学では通用するが､連続関数以外を対象とするより広い意味での積分においては限界がある。従って､リーマン積分は区分求積法の考え方をより広い関数にも適切に定義できる様に考えたものと言える。
　一方で､x軸上の”普通の”長さを伸ばしたり縮めたりしてできる“特殊な”長さを用いて､図形の面積を求める事はリーマン=スティルチェス積分となる。
　例えば､平面上に”面積の単位”を定義すれば､その平面上で定義される(単調増加)関数に対する図形の面積を求める事も同様である。
　この様に､関数を縦に切る事でできる直方体の体積を求め､それを全領域に渡って足し合わせ､平面と関数に挟まれた図形の体積が求まる訳だが､そういう意味ではリーマン積分と言える。更に､その面積を伸ばしたり縮めたりすれば､(平面上の)リーマン=スティルチェス積分となるが､リーマン積分がスティルチェス積分に一般化出来るとはそういう事である。

　一方で､”長さ”や”体積”と呼んだものをより抽象的に数学的に定義すると”測度”と呼ぶが､測度が定義できるのは何も実直線上や平面上に限らず､集合上にも長さが存在する。
　因みに､”測度論”とは集合の長さや頻度といった集合の元(要素)の量を測る分野で､”ルベーグ積分”と呼ばれる積分においては”集合の長さ”を考える事が重要となる。例えば､区間[0, 1]の長さが1である事は直感的に理解できるが､区間[0, 1]上の”有理数の集合の長さ”はどうなるのだろうか？
　日常の感覚では有理数の集合という”まばらな集合”に対し､”長さ”を考える事は難しく抽象的だが､数学ではこの様な集合にも”長さ”を考える事が可能になる。更に言えば､こうした”長さ”を”ルベーグ測度”を用いて考える事が可能になる。
　勿論､どんな集合でもルベーグ測度を用いて”長さ”を測る事が出来る筈もなく､”長さ”を測れる集合として”可測集合”を定義する。この可測集合とルベーグ測度をどの様に定めるかという所が測度論の重要な考え方であり､ルベーグ積分の他に確率論も測度論に属する。

リーマン積分とルベーグ積分

　この様に非常に抽象的な空間上に定義された測度を用い､その空間上で定義された実関数の(非常に抽象化された面積や体積の様なもの)を定義するのが”ルベーグ積分”と言える。
　従って､(集合関数など)実直線上とは限らない抽象的な空間で定義された関数を扱うので､関数を短冊形に縦に切る､などといった事はできず､関数を空間に沿って”横に”スライスしたのがルベーグ積分の大きな特徴となる(図2)。
　一方､リーマン積分は”縦切り”により面積を求めると考え方だったが､ルベーグ積分は”横切り”により面積を求めるアプローチを採る。
　有界閉区間にてはリーマン積分可能な関数は必ずルベーグ積分可能である事が知られ､この意味ではルベーグ積分はリーマン積分の拡張(一般化)であると言え､逆にリーマン積分はルベーグ積分で一般化出来る。だが､その為には､可測関数というものを定義し､リーマン積分の基本的な性質を述べ､更にルベーグ積分の定義と基本性質を理解する必要があるのだが・・・｢積分論｣の難しさは､まさにここにある。

　例えば､ルベーグ積分の収束定理についてだが､解析学(微分と積分を主に扱う分野) では極限と積分の順序交換が必要な場面がしばし登場するが､ 極限と積分の順序交換ができる事を”項別積分可能”であると呼ぶ。
　リーマンが第4の論文で証明無しに用いた事で有名になったが項別積分だが､有界集合をX(カイ)とすると､lim[n,∞]∫ᵪfₙ(x)dx=∫ᵪlim[n,∞]fₙ(x)dxが成立する事を言うが､極限と積分が入れ替わってる事が確認できますね。
　ルベーグ積分での項別積分可能である為の条件を述べた定理を｢ルベーグの収束定理｣というが､この条件はリーマン積分よりかなり扱い易く､これこそがルベーグ積分を学ぶ大きなメリットとなる。但し(以下でも述べるが)､ルベーグ積分がリーマン積分よりも”極限に強い”とはこういう事である。
　つまり現代数学では､非常に抽象的なルベーグ積分を理解する事で積分そのものが俄然面白くなる。それは､ルベーグ積分の(収束)理論から更に多くの積分の概念が派生し､それらは確率論や経済学や金融工学などで盛んに応用される様になるからだ。

　そこで､(リーマン)積分の基本的な性質と定義を詳しく具体的に掘り下げる事にする。
　上述した様に､積分にもリーマン積分を始め､スティルチェス積分やルベーグ積分など様々な積分が存在する。つまり､様々な積分には”共通の何か”がある筈だ。
　以下､｢積分を特徴付ける3つの性質〜測度を定める汎関数｣より大まかに纏めます。

　その前に､”積分”とは1つの実数値関数(関数の値(値域)が実数値のみの関数)に対し､1つの実数を対応させる”決まり”がある”事を最初に認識する必要がある。但し､変数の値(定義域)も関数の値(値域)も実数のみの関数を”実関数”と呼ぶ事に注意する。
　上述した定積分で言えば､区間[a,b]上の1つの関数f(x)に対し､定積分∫[a,b]f(x)dxという1つの実数が対応する。また､この様な決まりを満たす関数を”汎関数”と呼び､この様な1対1に対応する規則の事を”写像”と呼ぶ。
　因みに､普通の関数は変数(定義域)から変数(値域)への対応で､その変数とは数を要素とした集合だったが､汎関数はその変数がに(変数に対応する)”関数から関数への対応”に相当する。上の例で言えば､∫:[a,b]→R(実数)に対し､g=R(x)=∫[a,b]f(x)dxと定義すれば､g:R(x)→Rとなり､gは関数fを変数(定義域)とする汎関数となる。
　故に､積分の本質を認識するには､実数値関数や写像や汎関数の意味を理解する必要がある。

ルベーグ積分の基本

　更に結論を急げば､積分とは(以下の様な条件を満たす)写像の事と言える。
　例えば､Eを集合Xで定義された実数値関数の集合とし､次の条件を満たすとする。
　①f(x),g(x)∈E⇒任意の実数a,bに対し､af(x)+bg(x)∈E
　②f(x),g(x)∈E⇒max{f(x),g(x)}∈Eかつmin{f(x),g(x)}∈E
　③f(x)∈E⇒min{f(x),1}∈E
　但し､max{f(x),g(x)}はxに対し､f(x)とg(x)の大きい方の数を対応させる関数で､min{f(x),g(x)}はf(x)とg(x)の小さい方の数を対応させる関数とする。
　そこで､上記の3条件を満たす関数の集合をX上の”初等関数族”と呼ぶ事にする。

　ここで､集合X上の実関数の列f₁(x),f₂(x),…,fₙ(x),…が各点xでnに沿って増加しながらX上の関数f(x)に収束する時､fₙ(x)↑f(x)と書き､f₁(x),f₂(x),…,fₙ(x),…が各点xでnに沿って減少しながらf(x)に収束する時､fₙ(x)↓f(x)と書く事にする。つまり､fₙ(x)↑f(x)とは各点xにて､fₙ(x)≦fₙ₊₁(x)かつf(x)=lim[n→∞]fₙ(x)となり､fₙ(x)↓f(x)とは各点xにて､fₙ(x)≧fₙ₊₁(x)かつf(x)=lim[n→∞]fₙ(x)となる。
　従って､この記法の下で以下の｢ルベーグ積分の定理｣が成立する。
　[主定理] 集合X上のある初等関数族Eで定義された実数値汎関数Tが次の3条件を満たす。
　[T1]各点xでf(x)≧0であれば､T(f)≧0。
　[T2]T(f+g)=T(f)+T(g)。
　[T3]各点xでfₙ(x)↓0であれば､T(fₙ)→0(n→∞)。
　また､この時TはX上の測度μ(ミュー)を用いてT(f)=∫ᵪf(x)μ(dx)の様に､ルベーグ積分の形で表せる。

　一方で､高校で学習する”連続関数に関する”リーマン積分(定積分)は､微分の逆演算と解釈すれば､高校の範囲で学習可能であるが､リーマン積分は極限操作に弱く､lim[n→∞]fₙ(x)=f(x)の様な関数列:f₁(x),f₂(x),f₃(x),…に対し, かなり強い条件を課さない限り､lim[n→∞]∫[a,b]fₙ(x)dx=∫[a,b]f(x)dxの様な基本的な等式が得られない。
　言い換えれば､リーマン積分はほぼ連続な有界関数に限定され､積分範囲も有界な閉区間しか許されない。但し､”有界”とは”無限遠にまで飛ばない”事をいう。
　この弱点を克服すべく､優秀な多くの数学者が考察を重ね､最終的にアンリ･ルベーグ(仏)が新たな積分論を築き上げ､∫ᵪf(x)μ(dx)がリーマン積分の様に定義された。
　実際､ルベーグ積分ではリーマン積分の極限操作に関する弱点が克服され､例えば､ν(ニュー)を集合X上の測度とする時､(νに関して積分可能で)fₙ(x)↓0である様な関数列に対して､lim[n→∞]∫ᵪfₙ(x)ν(dx)=∫ᵪ0ν(dx)=0となる事が､ルベーグ積分の｢優収束定理｣から導かれる。
　また､各点xにてf(x)≧0⇒∫ᵪf(x)ν(dx)≧0となる事､及び､∫ᵪ{f(x)+g(x)}ν(dx)=∫ᵪf(x)ν(dx)+∫ᵪg(x)ν(dx)である事もルベーグ積分の基本的な性質として成立する。
　(勿論厳密な証明が必要だが)､この事実は”[主定理]の3つの条件(T1~T3)が写像Tが積分で表される事の必要十分条件である”事を意味する。

　この事実を簡単に言えば､”積分とは関数に対して実数を対応させる写像で､ルベーグ積分の条件(T1~T3)を満たすもの”の事となるし､逆を言えば､”ルベーグ積分とは条件(T1~T3)を満たす写像の事だ”というだけで終わるが､そんな単純でないのが高等数学である。　
　故に､これだけでは積分論の本質を理解したとは言えず､実際の積分計算ができないのも事実である。
　そこで､ルベーグ積分の世界にいま一歩踏み込んでいこう。

　以上､富山大学理学部のHPからでしたが､参考文献として､｢確率論｣(伊藤清 著)を挙げられてますが､実解析学から見た積分論は純粋数学から見たそれよりも斬新に思えたし､スンナリと頭に入ってくる様に感じました。
　というのも､多くのルベーグ積分の著書では先ず測度(測度空間)を説明して､そこからルベーグ積分の定義に突入する傾向が多い様に思います。しかし､ここでは高校で学ぶ定積分から始めて積分論の本質に触れ､それから測度論に向い､ルベーグ積分の本質を解き明かすという形をとってるみたいです。　
　勿論､(ガチの数学みたいに)定義や定理に拘るのも悪くはないんですが､確率論や経済学などの実解析学から見た積分論というのもアリかなと思いました。
　少し長くなったので､今日はここまでです。次回の後半では､再び同HPを参考にして､ルベーグ積分の定義に向かう事にします。