リーマン予想と素数の謎”１の５”〜リーマンの第2の積分表示と第2の解析接続

　リーマンの”解析接続”も5回目で､思った以上に複雑ですね。関数等式1つ1つに固有の解析接続方法がある。
　エニグマと同じですな。1つ1つのUボートに固有の暗号が用意されてる。ドイツ人らしい実直な手堅いやり方です。

　さてと､”1の4”(Click)で述べたリーマンの"第二の積分表示”をそのまま用いて前回行った様に､x→0における挙動を詳しく調べ、第二の解析接続を行う事も当然出来ます。
　しかしリーマンは､敢えて自ら見出した､”完備ゼータの積分表示”から第2の解析接続を始めます。
　これはテータ関数の変換公式からリーマンゼータの完全対称等式を導くのですが､テータθの対称性がゼータζの完全対称性に繋がるのも興味深いです。
　そこで､”1の3”(Click)にも述べた様に､”リーマンの第2の積分表示”である事にまず注目します。

リーマンの第二の積分表示

　前回”1の4”の第一の解析接続では､リーマンゼータの”第二積分表示”の分子(テータ関数)の広義積分f(x)の収束性を利用したんですが。
　”リーマンの第二積分表示”とは､ζ(s)=1/(π^(−s/2)*Γ(s/2))∫ₓ[0,∞]{f(x)−f(∞))/2}*x^(s/2)*dx/x､f(x)=Σₘ[−∞,∞]e^(−πm²x)でした。
　因みにゼータ関数に関しては､第一の非対称型関数等式ζ(1−s)=ζ(s)2Γ(s)cos(πs/2)/(2π)ˢまでは､オイラーが見出してました(1749年)。
　リーマンはこの等式の正当性の証明し､テータ関数を使い､”第2の積分表示=完備ゼータの積分表示”を独自に作り､第2の解析接続に利用したんです。リーマン予想の運命の半分がここで決まるんですが。

　当時は複素関数論も解析接続もなく､オイラーの非対称型関数等式の”正確な意味づけ”は､誰も成し得なかった。
　それでもオイラーは､ζ(n)とζ(1−n)の間に”日と月の双対性”を見出してたんです。お日様はζ(n)で収束､お月様はζ(1−n)で発散ですね。”4の3”(要Click)です。

　しかし､リーマンの”完備ゼータの積分表示”から､完備ゼータ関数ξ(s)の完全対称等式ξ(1−s)=ξ(s)を得る事が出来る。
　”1の3”でも述べましたが､完備ゼータ関数とは”完全(コンプリート)なゼータ関数”の事で､ζの上に^を載せた形で表されますが。スマホでは表示出来ないので､”ξ”という記号を使います。

リーマンの完備ゼータの積分表示

　リーマンは独自に編み出した”完備ゼータの積分表示”を使い､”第2の解析接続”を始めます。
　この完備ゼータの積分表示は､ξ(s)=∫ₓ[0,∞]φ(x)x^(s/2)*dx/x､(Re(s)>1)で示され､これを使って上述の完全対称等式を導き､同時に”2番目の解析接続”も行います。
　但し､φ(x)=(θ(x)−1)/2とします。この第2の解析接続では､このθ関数(テータ)が肝になるんです。　
　θ(x)=Σₙ[−∞,∞]e^(−πn²x)､x>0。このテータ関数θ(x)は､x>0を満たす右半複素平面上で定義されるので､”重さ1/2の保型形式”と言われます。故に､”テータの変換公式”θ(x)=1+2Σₙ[1,∞]e^(−πn²x)が成立し(”1の4”イラスト参照）､φ(x)=(θ(x)−1)/2=Σₙ[1,∞]e^(−πn²x)と表せます。

　リーマンはテータ関数の専門家でもあり､この第2の積分表示にて､テータの保型形式とゼータを結び付けたんです。θ(テータ)関数がなかったら､リーマンの第二の積分表示もリーマン予想もなかっただろうし､Γ(ガンマ)関数がなかったら､オイラーの第一積分表示もなかったかもです。
　つまり､ゼータζにはガンマΓとテータθが絶対必須だったと言えます。

リーマン完備ゼータの創出

　まず､”完備ゼータの積分表示”の変形ですが､φ(x)=Σₙ[1,∞]e^(−πn²x)を完備ゼータの積分表示ξ(s)=∫ₓ[0,∞]φ(x)x^(s/2)*dx/xに代入すると､ξ(s)=∫ₓ[0,∞]Σₙ[1,∞]e^(−πn²x)*x^(s/2)*dx/x
=∫ₓ[0,∞]Σₙ[1,∞]e^(−πn²x)*x^((s−2)/2)*dx―①と変形出来ます。
　ここで､ガンマ関数Γ(s)=∫ₜ[0,∞]e⁻ᵗtˢ⁻¹dtに､
t＝πn²xを代入し､s→s/2とすれば､Γ(s/2)=(πn²)^(s/2)∫ₓ[0,∞]e^(−πn²x)*x^((s−2)/2)*dx､
を得る。
　①にこの式を代入すると､ξ(s)=Σₙ[1,∞](πn²)^(s/2)Γ(s/2)=π^(−s/2)Γ(s/2)Σₙ[1,∞]1/nˢ
=π^(−s/2)Γ(s/2)ζ(s)と､完備ゼータのゼータ表示式を得ます。
　ここで注意ですが､sは1､0､−2n以外で､ξ(s)は解析接続可(収束)。つまり､ζ(s)の極はs＝1で､Γ(s)の極は､s＝0,−nでした。故に､Γ(s/2)もs＝0,−2nで極になります。
　因みに､π^(−s/2)Γ(s/2)を”ガンマ因子”と呼びます。つまり､ゼータ関数がガンマ関数と結び付いた歴史的瞬間です。

　次に､ξ(s)=∫ₓ[0,∞]φ(x)x^(s/2)*dx/x
=∫ₓ[0,∞]φ(x)x^(s/2)*dx/x+∫ₓ[0,1]φ(x)x^(s/2)*dx/xと完備ゼータξ(s)を2つの積分に分けます。
　ここで､後半の積分をx=1/tとおくと､
∫ₓ[0,1]φ(x)x^(s/2)*dx/xとなり､∫ₜ[∞,1]φ(1/t)t^(−t/2)*(−dt/t)=∫ₓ[1,∞]φ(1/x)x^(−x/2)*dx/x､と変形。
　これは､tをxに戻し､−∫[x=∞→1]=∫[x=1→∞]より明らかですね。
　故に､ξ(s)=∫ₓ[1,∞]φ(x)x^(s/2)*dx/x+∫ₓ[1,∞]φ(1/x)x^(−x/2)*dx/x―②と書ける。

　ここで､θ(x)の変換公式:θ(1/x)=√xθ(x)を使います。
　これは､g(x)=e^(−πtx²)のフーリエ変換G(ξ)=∫ₓ[−∞,∞]g(x)*e^(−2πixξ)*dxと､ポアソンの和公式(∑ₙg(n)=∑ₘG(m))から､θ(1/x)=Σₙ[−∞,∞]√x*e^(−πn²/x)を得て､テータの変換公式(xと1/xの間の変換等式)を導きますが､ポアソンの和公式の証明はここでは省きます。

　故に､φ(1/x)=(θ(1/x)−1)/2=(√xθ(x)−1)/2と変形され､φ(x)=(θ(x)−1)/2により､φ(1/x)=φ(x)x^(1/2)+1/2*x^(1/2)−1/2を得る。
　これを②に代入し､φ(x)で括る所とsの定積分とに分けて計算します。以下少し見辛いですが､少しの辛抱です。
ξ(s)=∫ₓ[1,∞]φ(x)x^(s/2)*dx/x+∫ₓ[1,∞]{φ(x)*x^(1/2)+1/2*x^(1/2)−1/2}x^(-x/2)*dx/x
=∫ₓ[1,∞]φ(x)x^(s/2)*dx/x+∫ₓ[1,∞]{φ(x)*x^((1-s)/2)+1/2*x^((1-s)/2)−1/2*x^(-x/2)}dx/x
=∫ₓ[1,∞]φ(x)*(x^(s/2)+x^((1-s)/2))*dx/x
+∫ₓ[1,∞]{1/2*x^(-(1+s)/2))−1/2*x^(-(2+s)/2)}dx
=∫ₓ[1,∞]φ(x)*{x^(s/2)*dx/x+x^((1-s)/2)}dx/x+1/(s-1)−1/s。

　故に､ξ(s)=∫ₓ[1,∞]φ(x)*{x^(s/2)+x^((1-s)/2)}dx/x−1/s(1-s)となる。
　以上より､s＝0と1では､1/s(1−s)は発散し､故に､s＝0､1以外の複素数で､上式は有理型関数(微分可能)となり､第2の解析接続が得られ､同時に､ξ(1−s)=ξ(s)も明らかです。つまり､完備ゼータ関数ξ(s)の極は､0(Γ(s)の極)と1(ζ(s)の極)になります。
　ここに､テータの変換公式を用い､全ての複素数sへの”第2の解析接続”と”完備ゼータの完全対称等式”が一挙に得られました。
　まさに一石二鳥です。上記の見苦しい計算式ですが､実際書いてみると､そこまではややこしくはないですがね。

　ここで､”リーマンの第二積分表示”と”完備ゼータの積分表示”が同義である事の証明ですが。もし同義でないと､リーマンが完備ゼータの積分表示から第二の解析接続を始めたのがおかしくなります。

　最初に述べた第二積分表示のζ(s)=1/{π^(−s/2)*Γ(s/2)}∫ₓ[0,∞](f(x)−f(∞))/2)*x^(s/2)*dx/x､f(x)=Σₘ[−∞,∞]e^(−πm²x)で､f(x)=θ(x)と置き換えると､”重さ1/2の保型形式”のテータ関数θの定義､θ(x)=1+2Σₘ[1,∞]e^(−πm²x)を満たす。
　故に､ζ(s)=1/{π^(−s/2)*Γ(s/2)}∫ₓ[0,∞](θ(x)−θ(∞))/2)*x^(s/2)*dx/xに､完備ゼータのξ(s)=π^(−s/2)Γ(s/2)ζ(s)を代入すると､完備ゼータの積分表示のξ(s)=∫ₓ[0,∞]φ(x)x^(s/2)*dx/xが得られる。
　よって､”第二積分表示”と”完備ゼータの積分表示”が同義である事が証明できました。

　第二の解析接続とゼータの完全対称等式が得られた所で､今日は終わりにします。