新聞紙を100回折ったら？〜数(学)は宇宙よりもずっと壮大である

　あるフォロワーのブログに､”新聞紙1枚あれば宇宙を超える”とあった。
　記事を読んでみると､とても興味深かった。

　そこで､前知識なしで問題です。ネットで検索しないで､直感でお答え下さい。
　仮に､新聞紙1枚の厚さを0.1ミリとして､新聞紙を100回折り曲げたら､その厚さはどれくらいになるだろうか。
　答えを次の中から選びなさい。
　①教室の天井ぐらい(約3ｍ)
　②学校の屋上ぐらい(約10ｍ)
　③東京タワーぐらい(約300ｍ)
　④富士山ぐらい(約3700m)
　⑤地球から太陽までの距離ぐらい(約1億5000万km)
　⑥宇宙の果てを超える(約130億光年)

　数式で表すと､0.1mm×2¹⁰⁰である。10回折り曲げて厚さは約10センチで､ここら辺までは想定内で､誰でも思い付くだろう。やがて20回で100ｍを超え､ここから急加速する。
　27回では1万kmの成層圏を超え､37回では地球の直径より厚くなり､42回折れば44万kmとなり月までの距離を超える。
　更に､51回折れば太陽までの距離を超え､63回では約1光年(9兆5000万km)の厚さになり､80回ほど折ると銀河系の直径を超えてしまう。
　100回も折れれば(の話だが)､134億光年ほどになり､観測可能な宇宙の範囲をはみ出す事になる。
　因みに計算上では､0.1mm×2¹⁰⁰≒1.27×10²⁹mm=1.27×10²³km≒1.34×10¹⁰光年=134億光年となります。
　という事で､答えは⑥でした。

　(現実には)新聞紙では､9回(5cm)ほどが限界だそうですが､3000mのトイレットペーパーを使った1次元折り(同一方向に折り続ける)では､BritneyGallivanさん(米)の13回がギネス記録だ。但し､2次元折り(縦横と交互に折り続ける)では､50m×70mの紙で11回の記録が非公式に残っている。
　つまり､”新聞折り畳み”による宇宙旅行は夢の夢ってとこですかね。

理論上､紙は何回折れるのか？

　では､現実には無理だとしても､数学的には紙を折り畳んで宇宙へ行けるのだろうか？
　そこで､折りたたみ回数の限界を決める数理モデルを考える。
　以下､｢紙を半分に折り続けられる回数の限界について｣より一部抜粋です。
　紙の折り畳み世界記録3000mを持つGallivanさんは､1次元折りに関し､n回折る為に必要な長さLnを導いた。
　まず彼女は､紙を折った時に両端にできる”折り込み部分を更に折れない”と仮定し､ロスになると考えた。つまり､n回目で半分に折れる為には､”折り込み部(図-1の赤い部分)が残ってる必要がある"と。
　もし､この仮定が正しければ､n回折れる為に最低限の必要な長さLnは､折り込み部(赤い部分)の総和に等しくなる。
　そこで､紙の厚さをtとし､πtがtを半径とする半円である事に注意すれば､以下の式で表される。
　Ln=πt{1+(1+2)+(1+2+3+4)+…+Σₖ[1,2ⁿ⁻¹]k}=πtΣᵢ[0,n-1]Σₖ[1,2ⁱ]k=πt(2ⁿ+4)(2ⁿ−1)/6
　つまり､厚さ0.1mmの新聞紙を1次元折りでギネス記録の13回折る為に必要な長さは､数理モデル上ではだが､L₁₃=3.14…×0.1mm×8196×8191/6≒3513316.484mm≒3513mとなる。

　しかし､ここで問題なのが”一度折り畳んだ両端は再び折れない”事を前提としてる点だ。 　　
　例えば､両端の位置が一致するように折っていく場合(図-2参照)､両端の折り返し部を再び折る事ができれば､上記で述べた限界を超えて更に多く折れる筈である。
　故に､”一度折り畳んだ両端は折れない”という仮定の妥当性を調べる必要がある。
　結論から言えば､この仮定が妥当である事は､両端部を折る必要な力Pを考えれば理解できる。
　まず､折り込む際に両端部の影響が十分小さければ(図-2の黒の領域が赤の領域の長さよりも十分長ければ)､n回に折る時に必要な曲げ弾性力Pnは､紙1枚を折るのに必要な弾性力Pの2ⁿ⁻¹倍､即ち､Pn≃2ⁿ⁻¹Pと単に見積もる事ができる。これは弾性力Pnが倍々になってる事で判りますね。
　次に､紙が十分に厚く､赤の折り込み部の影響が十分に大きい(黒領域が赤領域よりも十分長くない)場合を考えます。この時､更に半分に折るには､積層された2ⁿ⁻¹枚の紙同士を水平方向にスライドさせる必要がある。
　これは､半分に折ろうとすると､2ⁿ⁻¹枚の紙の最上部と最下部が端部でロスする長さ(n回目の折込み時に新しく生まれる右側の赤領域の長さ)が左右両端で大きく異なる為だ。故に､更に紙を折込むには､曲げ弾性力だけでなく､2ⁿ⁻¹枚間をスライドさせるに必要な摩擦力も要求される。

　以上より､この時のPnは､2ⁿ⁻¹枚の紙を1枚の弾性体の板と見なし､それを曲げる際に必要な力と見れる。一般に､板の曲げ弾性率は厚さの3乗に比例するので､PnはPn≃(2ⁿ⁻¹)³P＝(2³)ⁿ⁻¹P＝8ⁿ⁻¹Pと見積もる事ができる。
　つまり､nが1増えるだけで折り曲げる力Pnは8倍も増加する。故に､両端を再び折ろうとすると非常に大きな力が必要で､その為”一度折り畳んだ両端を再び折れない”という仮定は正しいとなる。
　但し､上では必要条件のみを示しただけなので､実際の実験では､少し余裕を持つ必要がある事に注意です。
　以上､長々と小難しい説明でした。
　

最後に

　そういう私は､紙を100回折るだけだから､100枚の新聞紙を重ねた程の厚さなら､0.1mm×100=10mmくらいかなと・・・でも全くの大ハズレでした(悲)。
　数学の世界では､直感で判断すると赤っ恥を掻くの典型ですね。 

　以上で判るように､数字が倍々に増えると途中から一気に上昇する。その上昇速度は､我ら人類の想像や予想を遥かに超えたものになる。
　コロナ渦や凍結渋滞もそうだが､最初は一寸した誤算やトラブルから始まり､やがてパニックになり､気が付いたら世界規模のパンデミックになってしまう。

　つまり､最初の頃は想定内とタカを括ってるが､”倍々ゲーム”ではあっという間に人類の思考の限界を超えてしまう。人類の思考から解き放たれた数字は宇宙の果てをも突破し､神様をもあざ笑うかの如く､先へ先へと突き進む。
　人類や神様や宇宙には限界があるが､数字には限界はない。その数字から生まれた学問が数学である。
　数学はこうした数字の神秘を解き明かしながら､色んな世界を発見してきた。”新聞紙を折る”という誰でも容易にできる事を数学で表すと､人類が到達できない領域に簡単に届いてしまう。

　そう､数学は皆が思うように難しいだけの学問ではなく､あらゆる神秘を解き明かす魔法のトリックでもあるのだ。