数学的帰納法、2つのバージョン

新井紀子は『数学は言葉』で次の3つの公理は互いに同値であるといっている。
（引用はじめ）
1.　数学的帰納法
2.　任意の自然数について、nより小さい自然数全体の集合は有限集合である。
3.　自然数nに関する性質Q(n)について、次の2つのことが示されたとする。
　　(a)　Q(1)が正しい。
　　(b)　任意の自然数k＜nについて、Q(k)が正しいと仮定すると、Q(n)は正しい。
　このとき、任意の自然数nについて、Q(n)は正しい。（数学的帰納法の別バージョン）
（引用おわり）
数学的帰納法の中身は次の通り。
1.　自然数nに関する性質Q(n)について、次の2つのことが示されたとする。
　　(a)　Q(1)が正しい。
　　(b)　任意の自然数kについて、Q(k)が正しいと仮定すると、Q(k＋1)が正しい。
　　このとき、任意の自然数nについて、Q(n)が正しい。
バージョンの違いは(b)の表現である。新井紀子の高校生へのアドダイスは1.の数学的帰納法、瀬山士郎のは3.の数学的帰納法の別バージョンを背景にしていると思う。

どちらもkからk＋1への移行に着目することになるが、＋1の移行が、1.では最初からどれも同じ大きさの＋1である。一方、3.では、Q(n)を示すときの＋1はそれまでの＋1とは違う大きさをもつ印象を受ける。また、1.では無限集合だけを見ているが、3.では有限集合を基礎にした無限集合を見ることになる。
わたしはパスカルの『数3角形』で示されている数学的帰納法を3.のように捉えてきた。それは有限集合から無限集合へと拡張する数学的帰納法である。これがオリジナルバージョンだったと思う。これを数学的帰納法のパスカル版としよう。
これに対して、1.は改訂され整理された数学的帰納法である。数学的帰納法のペアノ版というところだろうか。

ペアノ版は「ドミノ倒し」と相性がいい。パスカル版はどうだろうか。同値な命題だから、「ドミノ倒し」は否定できない。しかし、別のバージョンだから、「ドミノ倒し」とはちがったモデルを提起する余地はあるだろう。これをやってみよう。