8月に見つけたアシナガバチ蜂の巣を、今日見上げてみると何か垂れ下がっている。肉眼ではわかりにくいのでカメラで撮ってみると、どうやら巣穴から出てきているようである。異常に産まれた卵の死骸のようにも見える。なんだろう。巣の壁面の素材が解けているのだろうか。ネットに似たような写真がないか調べてみたが見つからない。重くなっているのかもしれない。風で揺れている。
周転円上の真アノマリアαと離心アノマリアβの関係は次のようだった。
rpsinαp=sinβ
ここでrp= (1+e2+2ecosβ) 1/2 である。
楕円上の真アノマリアαを離心アノマリアβの関係は次のようだった。
rksinαk=√(1-e2)sinβ
ここでrk=1+ecosβ である。
離心円上の火星の真アノマリアαpと楕円上の火星の真アノマリアαkの、離心率eの２次までの近似式を求めると次のようになる（注）。
αp=β-esinβ+e2/2・sin2β
αk=β-esinβ+e2/4・sin2β
1次まではまったく同じである。2次で違いが出てくる。
αpとαkの差は
αp－αk
=e2/4・sin2βである。
この式が8分の誤差の数学的背景である。sin2β=±1、いいかえればβ=45°、135°（2β=90°、270°）で最大の誤差e2/4 （約8分）が生じる。くわしくいえば、β=45°で8分の過剰、β=135°で8分の不足が生じた。
（注）
2次までの近似式について。
真アノマリアと離心アノマリアの関係より、
sinαp=sinβ/rp
rpに2次までの近似式を入れて、
sinαp=sinβ/ (1+ecosβ+e2/2・sin2β)
これより、
fp(e)=αp=arcsin{ sinβ/ (1+ecosβ+e2/2・sin2β)}
同じように、
fk(e)=αk=arcsin{√(1-e2)sinβ/ (1+ecosβ)}
ここを起点にして
f'を求める。これはそれぞれ逆三角関数の微分となる。
f"は項数の多い商の微分となる。
最後にe=0を代入するので、高次の項を書かないのが計算の要領だろうか。楕円の方が離心円の方より計算しやすいと思う。過程や結果をここに示せればと思うが、その根気がない。
fp(0)=fk(0)=β
f'p(0)=f'k(0)=－sinβ
f"p(0)= sin2β
f"k(0)=1/2・ sin2β
となり、eの2次までの近似式が求まる。
（他のやり方があるのだろうか。）
rpsinαp=sinβ
ここでrp= (1+e2+2ecosβ) 1/2 である。
楕円上の真アノマリアαを離心アノマリアβの関係は次のようだった。
rksinαk=√(1-e2)sinβ
ここでrk=1+ecosβ である。
離心円上の火星の真アノマリアαpと楕円上の火星の真アノマリアαkの、離心率eの２次までの近似式を求めると次のようになる（注）。
αp=β-esinβ+e2/2・sin2β
αk=β-esinβ+e2/4・sin2β
1次まではまったく同じである。2次で違いが出てくる。
αpとαkの差は
αp－αk
=e2/4・sin2βである。
この式が8分の誤差の数学的背景である。sin2β=±1、いいかえればβ=45°、135°（2β=90°、270°）で最大の誤差e2/4 （約8分）が生じる。くわしくいえば、β=45°で8分の過剰、β=135°で8分の不足が生じた。
（注）
2次までの近似式について。
真アノマリアと離心アノマリアの関係より、
sinαp=sinβ/rp
rpに2次までの近似式を入れて、
sinαp=sinβ/ (1+ecosβ+e2/2・sin2β)
これより、
fp(e)=αp=arcsin{ sinβ/ (1+ecosβ+e2/2・sin2β)}
同じように、
fk(e)=αk=arcsin{√(1-e2)sinβ/ (1+ecosβ)}
ここを起点にして
f'を求める。これはそれぞれ逆三角関数の微分となる。
f"は項数の多い商の微分となる。
最後にe=0を代入するので、高次の項を書かないのが計算の要領だろうか。楕円の方が離心円の方より計算しやすいと思う。過程や結果をここに示せればと思うが、その根気がない。
fp(0)=fk(0)=β
f'p(0)=f'k(0)=－sinβ
f"p(0)= sin2β
f"k(0)=1/2・ sin2β
となり、eの2次までの近似式が求まる。
（他のやり方があるのだろうか。）
昨年花ボケしたミカンの木は、今年は結局数輪花が咲いただけであった。いま、青い実が数個なっているだけである。緑の葉だけの印象である。その下の千両は、今年はよく成長して数も増えているのではないかと思う。いま小さい青い実をつけている。これからこれが赤く色づいてくる。鳥に気づかれず、正月に飾れるといいのだが。
8分の違いは、離心円の離心率eとすると、e2/4に基づいている。ここに、火星の離心率e=0.09265を代入すると出てくる。
e2/4=0.00214
この値は弧度法で表した角度で、これを度数法の角度で表すと、
0.00214×180÷3.14=0.123°
これを分に直すと、
0.123×60=7.3′
≒8′（8分）
e2/4は、離心円上にある火星と、楕円上にある火星の真アノマリアの角度の差の最大値である。e2/4を導いてみよう。
まず、プトレマイオスの離心円上にある火星と、ケプラーの楕円上にある火星の、真アノマリアαを離心アノマリアβの関係をみてみよう。
プトレマイオス(p)の場合
この図でPからABに垂線を下ろしその足をLとする（図に表示はない）。半径を1とする。PLをα、βで表すと、
rpsinαp=sinβ
ここでrp= (1+e2+2ecosβ) 1/2 である。（注1）
ケプラー(k)の場合
ここでもPLをα、βで表すことを考える。
rksinαk=√(1-e2)sinβ
ここでrk=1+ecosβ である。（注2）
次に、離心円上の火星の真アノマリアαpと楕円上の火星の真アノマリアαkの近似式を求め、その差をとってみよう。
注1 「離心円に内在する楕円1」をみてください。
注2
rkcosαk= FL = FC +CL =e+cosβ
rksinαk=PL = PL /KL ・sinβ=√((1-e2)sinβ
したがって、
rk = FP =√( FL 2+PL 2)=1+ecosβ
である。
（山本義隆『世界の見方の転換』参照）
e2/4=0.00214
この値は弧度法で表した角度で、これを度数法の角度で表すと、
0.00214×180÷3.14=0.123°
これを分に直すと、
0.123×60=7.3′
≒8′（8分）
e2/4は、離心円上にある火星と、楕円上にある火星の真アノマリアの角度の差の最大値である。e2/4を導いてみよう。
まず、プトレマイオスの離心円上にある火星と、ケプラーの楕円上にある火星の、真アノマリアαを離心アノマリアβの関係をみてみよう。
プトレマイオス(p)の場合
この図でPからABに垂線を下ろしその足をLとする（図に表示はない）。半径を1とする。PLをα、βで表すと、
rpsinαp=sinβ
ここでrp= (1+e2+2ecosβ) 1/2 である。（注1）
ケプラー(k)の場合
ここでもPLをα、βで表すことを考える。
rksinαk=√(1-e2)sinβ
ここでrk=1+ecosβ である。（注2）
次に、離心円上の火星の真アノマリアαpと楕円上の火星の真アノマリアαkの近似式を求め、その差をとってみよう。
注1 「離心円に内在する楕円1」をみてください。
注2
rkcosαk= FL = FC +CL =e+cosβ
rksinαk=PL = PL /KL ・sinβ=√((1-e2)sinβ
したがって、
rk = FP =√( FL 2+PL 2)=1+ecosβ
である。
（山本義隆『世界の見方の転換』参照）
火星が離心円上にあると仮定した場合、火星の方向が観測と計算では角度にして8分の食い違いがあった。この8分の違いをくわしくいうと、離心円の仮定で計算した真アノマリアの値は、離心アノマリアβ=45°の位置で約8分の過剰、β=135°の位置で約8分不足である。
図示してみよう。この図は山本義隆『世界の見方の転換』1にある図を90度左回転し、これまで見馴れた位置関係に合わせたものである。だいたいβが45°の位置の図である。
この図で白い円が離心円で、火星は計算上Kの位置にある。しかし火星の方向は観測上Pの位置にある。すでに楕円が描かれているが、ないものと思っていただきたい。離心アノマリアβ=45°の位置で約8分過剰というのは、∠KFAが∠PFAより約8分大きいことを指している。β=135°の位置は、描かれていないが、図の左下に現れる。この位置での約8分の不足は、∠KFAが∠PFAより約8分小さいことを指している。
ケプラーが仮定していたのは、1.火星は円軌道を回っていること、2.エカント点（離心距離の二等分CF=CE）、3.ティコのデータの3つである。ケプラーは2と3を維持し、1を放棄する。8分の過不足を調整するために、2と3の基礎の上に、離心円から三日月形を切り取り、楕円軌道をみつけるのである。
図示してみよう。この図は山本義隆『世界の見方の転換』1にある図を90度左回転し、これまで見馴れた位置関係に合わせたものである。だいたいβが45°の位置の図である。
この図で白い円が離心円で、火星は計算上Kの位置にある。しかし火星の方向は観測上Pの位置にある。すでに楕円が描かれているが、ないものと思っていただきたい。離心アノマリアβ=45°の位置で約8分過剰というのは、∠KFAが∠PFAより約8分大きいことを指している。β=135°の位置は、描かれていないが、図の左下に現れる。この位置での約8分の不足は、∠KFAが∠PFAより約8分小さいことを指している。
ケプラーが仮定していたのは、1.火星は円軌道を回っていること、2.エカント点（離心距離の二等分CF=CE）、3.ティコのデータの3つである。ケプラーは2と3を維持し、1を放棄する。8分の過不足を調整するために、2と3の基礎の上に、離心円から三日月形を切り取り、楕円軌道をみつけるのである。
ツバキの実が熟していくのを楽しみにしていた。一つだけはじけているが、ほとんどは青いままである。実が垂れ下がり目立つようになってきた。よく見ると葉が少なくなり、食われている。全体に貧弱な印象になってきていて、嫌な予感がした。場所を変えみると、チャドクガがやはりいた。目についたものは枝ごと切り落とした。葉には残っていた殺虫剤を振りかけたが、おそらく手遅れだろう。こちら北側の椿はこれまで無傷だった。一昨年、南側の椿は完膚なきまでにチャドクガにやられてしまった。今年、葉が出て回復傾向にあると思っていた。今見てくると、葉はかなり食われていて、チャドクガが枝に数匹からまっていた。ここが拠点だったのだろう。
これから北側の椿が衰えていくのを見ることになる。実をとって種を取り出し、別の場所に植えてみようと思う。
これから北側の椿が衰えていくのを見ることになる。実をとって種を取り出し、別の場所に植えてみようと思う。
近くに公園がある。その公園の北側と南側の東西の道を端から端まで歩く。東側の端は私鉄の線路で行き止まり、西の端は体育館で行き止まり。ほぼ直線で、往復で10分ほどかかっている。公園と体育館の時計でチェックしている。どれだけの距離を歩いているのか。地図で計測してみると、片道500メートルほどである。10分で1キロ、30分で3キロである。道は、3分の2は住宅、残りは田畑を通っている。庭を見たり、作物を見たりして歩いている。ほとんど車は通らない。人にもあまり出会わない。タオルを1本もって、半ズボンと半袖のシャツで歩いている。東西の道は何本もあり、変えることは可能である。また、時間と距離も変えられる。これで5日続けた。いい感じである。
半径100000の離心円から切り取る三日月の最大の幅429を実感してみよう。半径100mとするとだいたい43cmである。遠くからではほとんどわからない。楕円といってもほとんど円である。ノートで作図してみれば，10cmの半径に対して、0.4mmの幅である。楕円は鉛筆の芯の幅にほとんど隠れてしまう。
それでも楕円は楕円で、円ではない。それを円と見分けがつかないというのは、せっかくの9.98秒を約10秒というようなものである。
それでも楕円は楕円で、円ではない。それを円と見分けがつかないというのは、せっかくの9.98秒を約10秒というようなものである。
歩いて買い物に行ったりしていたが、これではダイエットの効果がなかったことが分かった。これは散歩で、健康によかっただけである。ここ3日間、大股で、早歩きをやった。初日に、驚いた。すこし歩くだけで、汗がにじんできて、息が上がってくるのである。5分もかかっていない。そのまま30分続けると汗びっしょりになった。腕を振って、ときには肩をまわして、歩くのである。これまでは買い物バックがあったから腕も振れなかった。汗もかけなかった。いま、足が筋肉痛である。筋肉も鍛えられるだろう。このようなウォーキングなら続けられそうな気がする。
『新天文学』56章にでてくる100429（基準が100000、基準が1のときは1.00429）は、
離心円上にある火星と太陽の間の距離rの、離心率eの２次までの近似式
r=a(1+ecosβ+e2/2・sin2β)
において、β=90°のとき、火星の離心率e=0.09265（ケプラーの値）を代入したものである。
すなわち、(1+e2/2)=1.00429
である。（「100429の数学的背景」、「離心円に内在する楕円1」参照）
この指摘は単純で、これまでだれか指摘しているかもしれないが、見たことはない。わたしの「気づき」であり、おおげさにいえば「発見」である。山本義隆は離心円上にある惑星と太陽の間の距離rの近似式について述べている。しかし、これと1.00429の関係についてはふれていない。関心がないのである。それは「ケプラーの第１法則（楕円軌道）の発見」の図12.11（『世界の見方の転換』3）において、AとEは結ばれておらず、離心円上にある火星と太陽の間の距離rが視野に入っていないことからわかる。（「楕円軌道の発見」5,6参照）
山本義隆が指摘しているのは三日月の幅EFが0.00429であり、この値はe2/2に等しいことである。
（引用はじめ）
したがって正しい軌道の円（b=a）と近似楕円（b=(1-e2)a）の中間、すなわちb=(1-e2/2)aとなる楕円であろうと考えられる。つまり、すでに求めていた火星の離心率e=0.09265に対して、円から切り取るべき三日月の幅a-bは、卵型を近似した上記の楕円の場合ではe2a=0.00858aとなったが、正しくはその半分e2a/2=0.00429aでなければならない。（半径aを1として読んでください。引用者注）
（引用おわり）
ここでe2/2は、楕円の短半径を離心率eの2次までとった近似式にでてくるものである。
長半径を1とした場合、短半径は
√(1-e2)=(1-e2)1/2=1-e2/2となる（注）。
すなわち、長半径と短半径の差は
1-(1-e2/2)=e2/2
となる。
この2つの出自の違うe2/2によって、ケプラーの「目覚め」に接近できる。目覚めは次のようだった。
（引用はじめ）
全く偶然に最大の視覚的均差を測り取った5°18´という角度の正割に思い至った。この値が100429であることを見たとき、まるで新たな光のもと、眠りから目覚めたかのように、以下の推論をし始めた。平均的な長さを取る所で均差の視覚的部分が最大になる。平均的な長さを取る所で三日月形つまり距離の短縮分が最大になり、ちょうど最大の視覚的均差の正割100429が半径100000を上回る分になる。したがって、平均的な長さを取る所で正割の代りに半径を用いると観測結果のとおりとなる。
（引用おわり）
ケプラーは三日月の最大の幅429を切り取る理由と方法を考えていた。偶然、5°18´という角度の正割の値が100429であることを知る。429は、最大の視覚的均差の正割100429が半径100000を上回る分である。429は離心円と楕円を結びつけている。ケプラーの「目覚め」を次のようにいうことができる。
（注）
2次までの近似式について。
f(e)=√(1-e2)=(1-e2)1/2とする。
f'(e)
=1/2・(1-e2)-1/2 ・(-2e)
=-e (1-e2)-1/2
f"(e)〔は積の微分とみて〕
=-(1-e2)-1/2+(-e)(-1/2・(1-e2)-3/2 ・(-2e))
=-(1-e2)-1/2+e2 (1-e2)-3/2
したがって、e=0を代入すると、
f(0)=1
f'(0)=0
f"(0)=-1
ゆえに、
f(e)= f(0)+f'(0)e+f"(0)e2/2!
=1-e2/2
離心円上にある火星と太陽の間の距離rの、離心率eの２次までの近似式
r=a(1+ecosβ+e2/2・sin2β)
において、β=90°のとき、火星の離心率e=0.09265（ケプラーの値）を代入したものである。
すなわち、(1+e2/2)=1.00429
である。（「100429の数学的背景」、「離心円に内在する楕円1」参照）
この指摘は単純で、これまでだれか指摘しているかもしれないが、見たことはない。わたしの「気づき」であり、おおげさにいえば「発見」である。山本義隆は離心円上にある惑星と太陽の間の距離rの近似式について述べている。しかし、これと1.00429の関係についてはふれていない。関心がないのである。それは「ケプラーの第１法則（楕円軌道）の発見」の図12.11（『世界の見方の転換』3）において、AとEは結ばれておらず、離心円上にある火星と太陽の間の距離rが視野に入っていないことからわかる。（「楕円軌道の発見」5,6参照）
山本義隆が指摘しているのは三日月の幅EFが0.00429であり、この値はe2/2に等しいことである。
（引用はじめ）
したがって正しい軌道の円（b=a）と近似楕円（b=(1-e2)a）の中間、すなわちb=(1-e2/2)aとなる楕円であろうと考えられる。つまり、すでに求めていた火星の離心率e=0.09265に対して、円から切り取るべき三日月の幅a-bは、卵型を近似した上記の楕円の場合ではe2a=0.00858aとなったが、正しくはその半分e2a/2=0.00429aでなければならない。（半径aを1として読んでください。引用者注）
（引用おわり）
ここでe2/2は、楕円の短半径を離心率eの2次までとった近似式にでてくるものである。
長半径を1とした場合、短半径は
√(1-e2)=(1-e2)1/2=1-e2/2となる（注）。
すなわち、長半径と短半径の差は
1-(1-e2/2)=e2/2
となる。
この2つの出自の違うe2/2によって、ケプラーの「目覚め」に接近できる。目覚めは次のようだった。
（引用はじめ）
全く偶然に最大の視覚的均差を測り取った5°18´という角度の正割に思い至った。この値が100429であることを見たとき、まるで新たな光のもと、眠りから目覚めたかのように、以下の推論をし始めた。平均的な長さを取る所で均差の視覚的部分が最大になる。平均的な長さを取る所で三日月形つまり距離の短縮分が最大になり、ちょうど最大の視覚的均差の正割100429が半径100000を上回る分になる。したがって、平均的な長さを取る所で正割の代りに半径を用いると観測結果のとおりとなる。
（引用おわり）
ケプラーは三日月の最大の幅429を切り取る理由と方法を考えていた。偶然、5°18´という角度の正割の値が100429であることを知る。429は、最大の視覚的均差の正割100429が半径100000を上回る分である。429は離心円と楕円を結びつけている。ケプラーの「目覚め」を次のようにいうことができる。
正割と半径（離心円の半径）の差を、e2までの近似で表した式と値これが「目覚め」の数学的背景である。離心円は切り取られ楕円になる。離心円の離心点と等化点（エカント点）は、そのまま楕円の2つの焦点となる。e2/2が媒介したのである。
(1+e2/2)-1=e2/2=0.00429
と
楕円の長半径（離心円の半径）と短半径の差（三日月の幅）を、e2までの近似で表した式と値
1-(1-e2/2) =e2/2=0.00429
が結びついたのである。
（注）
2次までの近似式について。
f(e)=√(1-e2)=(1-e2)1/2とする。
f'(e)
=1/2・(1-e2)-1/2 ・(-2e)
=-e (1-e2)-1/2
f"(e)〔は積の微分とみて〕
=-(1-e2)-1/2+(-e)(-1/2・(1-e2)-3/2 ・(-2e))
=-(1-e2)-1/2+e2 (1-e2)-3/2
したがって、e=0を代入すると、
f(0)=1
f'(0)=0
f"(0)=-1
ゆえに、
f(e)= f(0)+f'(0)e+f"(0)e2/2!
=1-e2/2