運転免許証と運転免許

発音練習をしていたが、何度やってもある箇所で口ごもってしまう。ついていけないのだった。

저는 운전면허증을 따고 싶어서 밤에 연습하고 있어요.
私は運転免許証を取りたくて、夜に練習しています。

운전면허증을（運転免許証を）が言えないのである。カタカナで、ウンジョン・ミョノ・チュグㇽと表記してみて、近づいた気になったが、どうも違う。昨日はそこで終わった。今日、あらためて講義を見ていると、運転免許証ではなく、運転免許と表記してあることに気づいた。

저는 운전면허를 따고 싶어서 밤에 연습하고 있어요.
私は運転免許を取りたくて、夜に練習しています。

画面にはこのように表記され、発音もウンジョン・ミョノ・ルㇽのように聞こえる。昨日も을ではなく를と表記してあることを見て、少し疑問に思ったが、증（証）の有無まで思い至らなかった。

YouTubeのトミの韓国語講座は、彼女のホームページにそのまま載っている（とても親切である）。最初は画面からシャーペンで会話文を写していたが、ホームページに会話文があることを知ってからは、これをコピーして、それをもとに20分ほどの講義を見るようになった。
ホームページに載っていた会話文が「運転免許証を」だったのである。しかし、実際の画面の表記は「運転免許を」だった。昨日は、一音節多い発音を頑張っていたことになる。
あらためて画面を見ると、「運転免許を（운전면허를）」の表記の前で、「증（証）」の説明がなされている。身分証（신분증）にも言及されている。おそらく最初は運転免許「証」だったのだろう。しかし、途中で「証」が抜けてしまった。

「運転免許証を」ではなく「運転免許を」で発音すればうまくいくかといえば、やはり、口ごもり、ついていけないのである。別の原因があるということなのだろう。

ミカンの枝にとまるヒヨドリ

ミカンはまだ残っているが、2週間ほど前から採るのをやめた。メジロ、ムクドリも見かけるが、一番よく見るのはヒヨドリである。たいてい、2羽いる。近づくと、気配を察して逃げていく。血相を変えて、という印象をもつ。独特の波状の飛行（羽ばたいて上昇したあと、翼をたたんで滑空する）を目で追うことになる。今日は、近づくと枝から飛び立ったが、遠くまで飛んで行かず、別の枝にとまった。気配を感じなかったのだろうか。

韓国の早口言葉

トミの「初級韓国語講座」がYouTubeにある。大変興味深い。ハングルをやり直そうという気になった。音読練習もがんばっている（しかし、手本のスピードについていけない）し、このごろは用意してある単語テストもやるようになっている。
講座の最後の「おまけ」も、興味深い。講座の深みを感じる。今日は韓国の早口言葉だった。

간장 공장 공장장은 강 공장장이고
된장 공장 공장장은 공 공장장이다.

醤油工場の工場長はカン工場長で、
味噌工場の工場長はコン工場長だ。

天気予報はずれる

柿の実は一昨日すべて無くなった。橙色が消えた。高所の実がなくなった後、低所の実がなくなった。低い場所は危険があるということなのだろうと思いながら見ていた。ムクドリが主役で、ヒヨドリ、スズメ、メジロ、ヒヨドリが脇役だった。なくなった後でも鳥は訪れている。
今日は、午前中くもり、午後3時から雨が降る予報だった。正午のラジオ体操の後に自転車で買い物に行って来た。雨を避けたつもりだったが、部屋から空を見ていると、雨が降る気配はない。日が照ってきている。雨どころか快晴である。これだけはずれるのも珍しい。

病んでいる椿の花

この椿はチャドクガ（茶毒蛾）の餌食になった。いまも、その後遺症を引きずっている。全体に貧弱な印象である。それでも数年前と比べると、力強い葉もあり、回復しているように思う。今日見ると、高いところに一輪だけ咲いていた。しかし、近づいてみると、花弁は病んでいた。

数えてみると、花の近くに、つぼみが十個ほどあった。ひとつでも健康な花が咲くといいのだが。

カタランの三角形4

カタラン数の変数は1つ（ｎ）だが、カタランの三角形の一般項（数列）を求める場合、変数は2つ（nとm）必要になる。変数mは0≦m≦nの変域をもつ。

カタラン数を導くとき、n×nの碁盤目状の経路を考えたが、ここではn×mの碁盤目状の経路を想定して、最短経路を求めよう。


上の図で、P から Q への最短経路の総数（n×mの碁盤） は、(n＋m)!/n!m!通りある。ここから範囲外の経路を除く。
範囲外へ初めて出る点を R とする。P→R の経路（緑色）を赤い線で折り返すと、P'→R （橙色）となる。P→R→Q （緑色）の経路はP'→R→Q （橙色）の経路と 1 対 1 に対応する。P'→R→Q の経路数は、（n＋1）×（m－1）の碁盤に着目して、(n＋m)!/(n＋1)!(m－1)!となる。したがって、求める最短経路数は、(n＋m)!/n!m!－(n＋m)!/(n＋1)!(m－1)!となる。これを計算する。

(n＋m)!/n!m!－(n＋m)!/(n＋1)!(m－1)!
＝((n＋1)(n＋m)!－ m(n＋m)!)/(n＋1)!m!
＝((n＋1－m)(n＋m)!)/(n＋1)!m!

これをC_n,mとしよう。
すなわち、
C_n,m＝((n＋1－m)(n＋m)!)/(n＋1)!m!
である。これがカタランの三角形の一般項になる。

nが与えられたときのmは、0≦m≦nの範囲を動く。(n＋1－m)の因子は項数を制約する因子となっている。
n＝3で、具体的にみておこう。このときmは0≦m≦3で、4つの数列ができる。
C_3,0＝4･3! /4!･0!＝1
C_3,1＝3･4! /4!･1!＝3
C_3,2＝2･5! /4!･2!＝5
C_3,3＝1･6! /4!･3!＝5

m＝nのときは、
C_n,n＝((n＋1－n)(n＋n)!)/(n＋1)!n!
＝1･(2n) ! /(n＋1) ! n !
＝(2n) ! /(n＋1) ! n !
＝1/(n＋1)･( 2n) ! /n! n!
＝1/(n＋1)･_2nC_n
となり、カタラン数となる。

いま、縦方向に0≦n , 横方向に0≦m をとろう。0≦m≦nで、
C_n,m＝((n＋1－m)(n＋m)!)/(n＋1)!m!
を計算していくと、カタランの三角形になる。
最初から順序よく計算しなくても、直接、任意の細胞（C）の数を求めることができる。例、C_7,4＝4･11! /8!･4!＝165。

1		111	111	111	111	111	111	111	111
1	1
1	2	2
1	3	5	5
1	4	9	14	14
1	5	14	28	42	42
1	6	20	48	90	132	132
1	7	27	75	165	297	429	429
1	8	35	110	275	572	1001	1430	1430
111	191	44	154	429	1001	2002	3432	4862	4862

雫（しずく）と雨足（あまあし）

今はもっぱら正午にラジオ体操をしている。庭に出てやるのだが、今日はあいにくの雨。玄関の軒下でやることになった。動きは少し制約されるが、それでもやらないよりはよい。南天の実に雫（しずく、滴）が垂れ下がっている。サザンカの花を背景に雨足（あまあし、雨脚）も見える。

カタランの三角形3

ネピア数eが関連するオイラー公式が有名だが、カタラン数と二項係数をつなぐ
c_n＝1/(n＋1)･_2nC_n
も、オイラーの公式とよばれているという。
カタラン数は、様々な場面で現れてくるが、n×nの碁盤目状の経路のうち、対角線以下の最短経路としても有名である。これを使ってオイラーの公式を確認しておこう。（「高校数学こぼれ話、第17話」参照）
n×nの碁盤目状の経路に現れるカタラン数は次のように範囲外の経路を除くことによって求められる。

上の図で、P から Q への最短経路の総数 は_2nC_n通りある。
ここから範囲外の経路を除く。
（引用はじめ）
ここで、範囲外へ出る経路を考えて、範囲外へ初めて出る点を R とする。P→R の経路を破線で折り返すと、P→R→Q の経路はP'→R→Q の経路と 1 対 1 に対応する。P'→R→Q の経路数は_2nC_n－1 であるから、全体からこれを除いて、_2nC_n－_2nC_n－1となる。
（引用おわり）
あとは、これを計算する。
c_n
＝_2nC_n－_2nC_n－1
＝( 2n) ! /n! n!－(2n) !/( n－1) !(n＋ 1) !
＝( 2n) ! (n＋1－n)/n! (n＋ 1) !
＝( 2n) ! / n !(n＋ 1) !
＝1/(n＋1)･( 2n) ! /n! n!
＝1/(n＋1)･_2nC_n

ここで_2nC_nは、パスカルの三角形の対称軸（正方形の対角線）に並ぶ数列を表している。これを最初の部分を並べてみると、次のようになる。
1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, …
これをそれぞれ
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …
で割ると、最初のカタラン数になる。
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, …

これらはカタランの三角形の数列の特殊な値（正方形の対角線、直角二等辺三角形の底辺）である。

1		111	111	111	111	111	111	111	111
1	1
1	2	2
1	3	5	5
1	4	9	14	14
1	5	14	28	42	42
1	6	20	48	90	132	132
1	7	27	75	165	297	429	429
1	8	35	110	275	572	1001	1430	1430
111	191	44	154	429	1001	2002	3432	4862	4862

こんどはカタランの三角形の一般項を求めてみよう。

カタランの三角形2

カタランの三角形をもう少し拡大してみよう。

1		111	111	111	111	111	111	111	111
1	1
1	2	2
1	3	5	5
1	4	9	14	14
1	5	14	28	42	42
1	6	20	48	90	132	132
1	7	27	75	165	297	429	429
1	8	35	110	275	572	1001	1430	1430
111	191	44	154	429	1001	2002	3432	4862	4862

パスカルの三角形では、三角形の対称軸（正方形の対角線）に並ぶ数列には、次のような関係が成り立っていた。
1²＝1
1²＋1²＝2
1²＋2²＋1²＝6
1²＋3²＋3²＋1²＝20
1²＋4²＋6²＋4²＋1²＝70
…
同じようにカタランの三角形でも、正方形の対角線に並ぶ数列（カタラン数）は、角行の動きに並ぶ数列の2乗の和で構成されている。
1²＝1
1²＝1
1²＋1²＝2
1²＋2²＝5
1²＋3²＋2²＝14
1²＋4²＋5²＝42
1²＋5²＋9²＋5²＝132
…
1²＋8²＋27²＋48²＋42²＝4862

参考　　パスカルの三角形

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	3	6	10	15	21	28	36
1	4	10	20	35	56	84
1	5	15	35	70	126
1	6	21	56	126	252
1	7	28	84			924
1	8	36					3432
1	9							12870
111	111	111	111	111	111	111	111	111	48620

1²＋9²＋36²＋84²＋126²＋126²＋84²＋36²＋9²＋1²＝48620

カタランの三角形

碁盤の上のパスカルの三角形は、縦の単位数列と横の単位数列に対して、

1	1	1	1	1
1
1
1				111
111	111	111	111

左隣と上隣を加えることによって、次のように配置されていく。

1	1	1	1	1
1	2	3	4
1	3	6
1	4		20	111
111	111	111	111	70

これに対して、碁盤の縦方向の単位数列だけを出発点として、

1
1
1
1				111
111	111	111	111

左隣と上隣を加えることによって、数列を配置していく。最初、パスカルの三角形で1（左）＋1（上）＝2のマスには、1（左）＋0（上）＝1が入る。対角線を越えない範囲で、左隣と上隣をたしていくと次のような配置となる。

1
1	1
1	2	2	111
1	3	5	5	111
111	141	191	14	14

対角線上にカタラン数が並ぶ。
1, 1, 2, 5, 14, …
これをそれぞれ
1, 2, 3, 4, 5,…
倍したものが、
パスカルの三角形の対角線に並ぶ数列、
1, 2, 6, 20, 70, …
である。