Zwei と Eins Zwei Drei

　Zweiという詩がある。「オイラーの公式」で検索していたら、「はまぐりの数学」の記事があり、そのなかに「ＮＨＫの学問爆笑で紹介されていた証明」が紹介されていた。Zweiは、脳科学者中田力教授が、高校生の時に書いた「ふたり」という詩である。読んでみる。（dx／dyを dy／dxに修正して引用しました。）

　　　　　　　　Zwei

　　　　　 　ｙ＝cosｘ＋isinｘ
　　　　 dy／dx＝－sinｘ＋icosｘ
　　　dy／dx・i＝－(cosｘ＋isinｘ)
　　　dy／dx・i＝－y
　　 　1／y・dy＝－1／i・dx　　　　(∵ｉ＝－1／i)
　　　 ∫1／ydy＝∫idx
　　 　　　logy＝ix＋C
　　　 　　　ｘ＝0；ｙ＝1；C＝0　
　 　　　　logy＝ix
　 　　　　　ｙ＝e^ix
∴cosｘ＋isinｘ＝e^ix

　cosｘとisinｘが様々なプロセス（微分・iとの積・自己反省・変数分離・積分・初期条件・指数対数関係）を経て、e^ixとしてみずからを発見する過程が描かれている。

　興味をもった。わたしはオイラーの公式だけでなく、タイトルにも惹かれた。オイラーの公式とZwei。わたしの試みと重なったのである。

　「懐疑論の核心 ―― Zwei」（前回の記事）で、わたしは、懐疑論の核心は Zwei（２）に見出せるのではないか考えた。そして、Zweiを否定的理性の働きではなく、否定的理性と肯定的理性の並列構造の働きとして位置づけることによって、ヘーゲルとは違った弁証法の構造を強調したのである。そして、Zwei（２）を、バイソシエーション（bisociation)のバイ（bi）や複素過程論（複合論）の「複」に対応させた。もちろんそれは「対話」の「対」（ペア）に重なるのである。

　複素過程論（複合論）は、弁証法の新しい考え方として提出しているものである。その具体的な一つの例としてわたしは「オイラーの公式」の形成過程を考えてきた。

　それゆえ、Zweiという詩は　とても興味深く思えたのである。

　わたしも、Zwei という詩を作っていたことになる。「ひらがな弁証法」のことである。

              　　Zwei

       　Ａ ＝ａ＋ｂｉ　,　Ａ' ＝ｃ＋ｄｉ

       　Ａ×Ａ' ＝（ａ＋ｂｉ）×（ｃ＋ｄｉ）
               　 ≒（ａ＋ｄｉ）×（ｃ＋ｂｉ）
               　 ＝（ａｃ－ｂｄ）＋（ａｂ＋ｃｄ）ｉ
              　　＝ｘ＋ｙｉ
              　　＝Ｂ

　この過程は、一般的で抽象的だが、オイラーの公式の形成過程と対応させると次のようになる。

　まず、Ａ ＝ａ＋ｂｉ,Ａ' ＝ｃ＋ｄｉ。Ａ ＝ａ＋ｂｉは、「虚数単位 i を用いた ｎ 倍角の公式」である。これはド・モアブルの定理から導かれたものである。

       　cosnz＝{(cosz＋isinz)^n＋(cosz－isinz)^n}／2
       　sinnz ＝{(cosz＋isinz)^n－(cosz－isinz)^n}／2i

　　cosnzとsinnzの２つで1つである。

　また、Ａ' ＝ｃ＋ｄｉは、「極限を使って定義された指数関数」である。

　　　 e^x ＝lim(n→∞)(1＋ x／n)^n　　　　　　　　　

　これが、最初の「ふたり」である。

　次に、Ａ×Ａ'＝（ａ＋ｂｉ）×（ｃ＋ｄｉ）。ここから、オイラーの発想を構成していくことになる。

       　　　　　c ←  bi +   a → di
       　　　　　+     　 ↑　  ↓    　 +
       　　　　　bi←  c +   di → a

　この構造を媒介にして、「極限」と「虚数単位」が二重化される。すなわち、cosnzとsinnzの方に、これまでなかった極限が導入される。他方、e^x の方には、それまでなかった「虚数単位」が導入される。

　（ａ＋ｄｉ）×（ｃ＋ｂｉ）は、「ｎ 倍角の公式への極限の導入と指数関数への虚数単位の導入」である。それは次の式で表わされる。

       　cosx＝lim(n→∞){(1＋i・x/n)^n＋(1－i・x/n)^n}／2 　　　　(1)
       　sinx ＝lim(n→∞){(1＋i・x/n)^n－(1－i・x/n)^n}／2i 　　　    (2)　

       　e^ix ＝lim(n→∞)(1＋i・ x／n)^n　　　　　　　　　　　  (3)

　これが、次の「ふたり」である。

（ａｃ－ｂｄ）＋（ａｂ＋ｃｄ）ｉ ＝ｘ＋ｙｉ ＝Ｂは、「ふたり」が「ひとつ」に結ばれる過程を表わしている。オイラーの公式の成立である。

　(1)と (2)に、(3)を代入することによって、次の関係が得られる。

　  　　cosx＝(e^ix＋e^－ix)／2
         sinx ＝(e^ix－e^－ix)／2i

　これをe^ixについて解くと、よく知られたオイラーの公式になる。

       　e^ix＝cosｘ＋isinｘ

　ひらがな弁証法（わたしの Zwei） を後退させ、オイラーの公式の形成過程だけを取り上げ、「Eins Zwei Drei」とタイトルをつけておこう。

　　　　　　Eins Zwei Drei

　　　　　１　
      cosnz＝{(cosz＋isinz)^n＋(cosz－isinz)^n}／2
　　  sinnz ＝{(cosz＋isinz)^n－(cosz－isinz)^n}／2i
　 　 e^x 　＝lim(n→∞)(1＋ x／n)^n

　　　　　２　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
      cosx＝lim(n→∞){(1＋i・x/n)^n＋(1－i・x/n)^n}／2
　　  sinx ＝lim(n→∞){(1＋i・x/n)^n－(1－i・x/n)^n}／2i
      e^ix ＝lim(n→∞)(1＋i・ x／n)^n

　　　　　３
　　  cosx＝(e^ix＋e^－ix)／2
　　 sinx ＝(e^ix－e^－ix)／2i
      e^ix ＝cosｘ＋isinｘ

  　さて、この３連は詩として受け入れられるだろうか。

　注　

　わたしたちは、オイラーの公式の導き方に関して、『オイラーの無限解析』 （オイラー/高橋正仁訳 海鳴社 2001年）や『無限のなかの数学』（志賀浩二 岩波新書 1995年）を参考にしている（オイラーの公式と複合論）。「はまぐりの数学」の「オイラーの公式の発見」の記事も同じだと思う。

懐疑論の核心 ―― Zwei

　栗原隆氏の『ヘーゲル　生きてゆく力としての弁証法』（NＨK出版 2004年）は「論理的なものの三側面」を基礎にしている。それは悟性・否定的理性・肯定的理性の三段階を踏襲している。わたしたちはこのような理性の直列構造を否定し、否定的理性と肯定的理性の並列構造を想定し、「ひらがな弁証法」を構想している。

　栗原氏の見解を取り上げ、わたしたちの立場を対置しておこう。栗原氏の本のなかに興味ある展開がいくつかあるのである。

　　１　懐疑論
　　２　展開論
　　３　矛盾論
　　４　規定的否定論

　１　懐疑論

　栗原隆氏によれば、ヘーゲルは懐疑論の意義を、「真なるものそのものを見出さないまま、吟味し、探究し、探索すること」と捉え、次のように説明しているという（『哲学史講義』）。

　『スケプシス（懐疑）』を〈疑いの学説〉とか『疑り深いこと』と翻訳してはなりません。懐疑は疑いではないのです。だって、疑い（Zweiful）というのは、懐疑論の結果であるはずの安心とは反対だからです。〈うたがい〉というのは『互い（Zwei）』に由来していて、それは、二つのものやそれ以上の「選択肢の」間をあっちへ行ったり、こっちへ来たりすることです。一方にも他方にも安らぐことはありません。（Ι）ところが懐疑論は、一方にも他方にもどうでもよいのであって、対立しあうものの一方に確固としたものを見出そうとはしません。これが懐疑論のアタラクシア（平静心）の立場です。

　栗原氏は「ヘーゲル弁証法の原型は懐疑論にある」といっている。しかし、この懐疑論を否定的理性の働きのモデルとして捉えている。

　ヘーゲルにあって弁証法的な否定は、〈あれか―これか〉の二者択一や、〈ああでもないし―こうでもない〉という行き詰まり、さらには〈あれはあれで―これはこれ〉という相対性をも否定して、認識の進展をもたらすことのできるところに捉えられていた。対立的な構図を構成する二律背反を解消するところに否定的理性の働きが見定められていたのである。実際、そうした否定はどのような形で現われるのか。ヘーゲルはそのモデルを「懐疑」に求めた。懐疑というのは、必ずしも、これもあれも疑わしい、という態度をとるものではない。独断論が、対立する主張の可能な場合にあって、一面的に一方に加担する態度をとって、「あれ―かこれか」を構成するのに対して、むしろ常に、対立する主張を並存させようとする態度である。

　わたしたちは、懐疑論を否定的理性の働きではなく、否定的理性と肯定的理性の並列構造の働きとして位置づけよう。「〈うたがい〉というのは『互い（Zwei）』に由来していて、それは、二つのものやそれ以上の「選択肢の」間をあっちへ行ったり、こっちへ来たりすること」という説明は、わたしたちの「ひらがな弁証法」にふさわしいと思う。

　Zweiはドイツ語の２である。それはバイソシエーション（bisociation)のバイ（bi）に対応する。また、複素過程論（複合論）の「複」に対応する。

　「あれとこれと」――懐疑論のアタラクシア（平静心）の立場である――「ひらいて 　つないで 　ふたつを　　ひとつに 　むすぶ」。

「踊れ」ではなく「跳べ」―― salto考

　Hic Rhodus , hic salta! は、ギリシャ語からラテン語に翻訳されるときの誤訳にもとづいたものだと知り、驚いたことがある。

　Rhodusは、もともと、ロドス島ではなく、棒高跳びに使うポールだというのである。

　その記事は、MIA: Encyclopedia of Marxism: Glossary of Terms　にあったものである。わたしは「ロドスとポールとバラ」で誤訳が発生した理由を述べた箇所を引用して、その記事へリンクを張っていた。

　こんど、その記事みて、驚いた。

　引用した部分がすべて削除されていたのである。そして、以前の内容とは違う印象をもった。『法の哲学』、『ルイ・ボナパルトのブリュメール十八日』、『経済学批判』、『資本論』への言及があり、かなり詳しくなっている。

　　Hic Rhodus, hic saltus! 　　

　こんどこの記事のなかで気になったのは、saltus = jump [noun], salta = dance [imperative]と明記されていて、堀江忠男氏が、Hic Rhodus, hic salta! を、「ここがロードス島だ、ここで跳べ！」ではなく、「ここがロードス島だ、ここで踊れ！」と訳したことを擁護するような記事になっていたことである。

　しかし、「踊るのか、跳ぶのか」のなかで述べたように、saltus が「跳ぶ」、salta が「踊る」ではなく、「跳ぶ・踊る」の意味を持っている salto が原形で、その名詞の対格が saltus 、その動詞の命令形が salta である。

　リンクした記事のタイトルは、以前は　Hic Rhodus , hic salta! だった。いまは Hic Rhodus, hic saltus! になっている。「踊れ」ではなく、「跳べ」を選んでいるということになるだろう。

もうひとつの表出論

　吉本隆明氏は、言語の構造として自己表出と指示表出を想定していた。わたしはそれを認識論に応用しようと考えてきた。最初、認識を抽出過程と構成過程の複合として捉えた。次に、形式性と指示性の複合として捉える観点が付け加わった。

　１　抽出過程と構成過程

　わたしは下向的分析と上向的総合という質の異なった２つの認識過程を強調して、認識に表出過程と抽出過程という契機を想定した。（『もうひとつのパスカルの原理』（私家版１９９０年、文芸社２０００年））

　言語の表出は、「幻想の可能性」として想定されていた。わたしは「幻想の可能性」を「判断の可能性」に移行させたところに認識の抽出過程を想定した。また「推論の可能性」に移行させたところに認識の構成過程を想定したのである。

　このような二重化は、言語の表出論の空白を埋める試みだった。

　吉本隆明氏は、言語の本質にまつわる永続性と時代性、類としての同一性と個性としての差別性を指摘し、これを言語の対自的側面(自己表出)と対他的側面(指示表出)に対応させていた。

　ある時代の社会の言語水準は、ふたつの面からかんがえられる。言語は自己表出性において、わたしたちの意識の構造にある強さをあたえるから、各時代がもっている意識構造は言語が発生した時代からの急激なまたゆるやかな累積そのものにほかならず、また、逆にある時代の言語は、意識の自己表出のつみかさなりをふくんでそれぞれの時代を生きるのである。しかし、指示表出としての言語は、あきらかにその時代の社会、生産体系、人間諸関係そこからうみだされる幻想によって規定されるし、強いていえば、言語を表出する個々の人間の幼児から死までの個々の環境によって決定的に影響される。また異なったニュアンスをもっている。このようにして言語の本質にまつわる永続性と時代性、また類としての同一性と個性としての差別性は、言語の対自と対他の側面としてあらわれる。

　わたしは違和感をもった。表出(自己表出と指示表出)だけで、永続性と時代性、同一性と差別性を分離するには無理があるのではないか。そして、この二つを明確に分離するには、表出を抽出と構成に二重化し、抽出過程に時代性や個性としての差別性を、また構成過程に永続性や類としての同一性を位置づけすべきではないかと考えたのである。

　わたしが想定したのは、次のような過程である。

　わたしたちが何ごとかを言おうとするとき、まず抽出過程（下向的分析）が働き、そしてこのとき時代性や個性としての差別性が刻印されること。それは直接に表出の対他的側面(指示表出)に現れてくるのではなく、抽出過程の対自と対他の両側面の両方に現れるのである。

　次に構成過程（上向的総合）が立ち上がり、永続性や類としての同一性が刻印される。それは直接に言語の表出の対自的側面(自己表出)に現れているのではなく、構成過程の対自と対他の両側面の両方に現れているのである。

　つまり、言語の本質にまつわる永続性と時代性、また類としての同一性と個性としての差別性は、言語の対自と対他の側面としてあらわれるが、それは自己表出と指示表出ではないと考えたのである。

　２　形式性と指示性

　また、わたしは認識の「形式と内容」を捉えるために、認識に「形式性と指示性」という契機を想定した。これは、吉本氏の形式内容論を継承しようとしたものである。

　吉本は『言語にとって美とはなにか』のなかで、次のように述べていた。

  文学の内容と形式は、それ自体としてきわめて単純に規定される。文学(作品)を言語の自己表出の展開(ひろがり)としてみたときそれを形式といい、言語の自己表出の指示的展開としてみるときそれを内容というのである。もとより、内容と形式とが別ものでありうるはずがない。あえて文学の内容と形式という区別をもちいるのは、スコラ的な習慣にしたがっているだけである。しかし企図がないわけではない。文学の形式という概念の本質をしることは、じつに文学表現を文学発生の起源からの連続した転換としてみようとする特別な関心につながる。また、文学の内容という概念には、文学を時代的な激変のなかに、いいかえれば時代の社会相とのかかわりあいのうえにみようとする特別な関心につながっている。

　形式が自己表出に対応し、内容は指示表出に対応する。わたしは、認識の形式を「形式性」、内容を「指示性」と対応させた。自己表出と指示表出という言葉を使えなかったからである。

　そして、認識の媒介機能は、この「形式性と指示性」によって担われていると想定した。これは、戸坂潤『科学論』にある次の一節を基礎にしたものである。

所謂科学は特定の認識内容である。これに対して所謂哲学は夫れの特定形式と、その一般形式への拡大とを意味する。方法や論理は、このような認識の形式を指すのでなければならぬ。ただこの形式は、内容自身からの所産であり、内容が分泌した膠質物であって、内容以外から来たものでもなく、ましてアプリオリに天下ってきたものでもない。だから今の場合形式に相当するこの方法や論理、すなわち哲学は、内容に相当する処のこの科学そのものからの抽出物として以外に、またそれ以上に、その独自性を持つことはできない約束なのである。

　２０００年以前に、価値形態論を参考にして、商品の価値と使用価値に対応させていたのは、認識の「形式性と指示性」であった。糸口になったのは、リンネルと上着のあいだの価値関係あるいは交換関係が、２つの認識の形式関係あるいは変換関係に対応するのではないかということであった。

　わたしは、１９９０年代において、複素数のモデルを使えば、次のような式で認識を捉えていたのである。

　　　　認識＝構成過程＋抽出過程×ｉ

　　　　認識＝形式性＋指示性×ｉ

　しかし、細部に立入ってみると、次のような式になり、自分でも把握しにくいものだったのである。

　　　　認識＝構成過程（自己構成と指示構成）＋抽出過程（自己抽出と指示抽出）×ｉ

　　　　認識＝形式性（自己抽出と自己構成）＋指示性（指示抽出と指示構成）×ｉ

　自分で引き起こした分裂で、前へ進めなくなっていた。

　３　自己表出と指示表出

　２０００年近くになって、いったん二重化した抽出過程と構成過程を表出過程に統一して、形式性を自己表出に、指示性を指示表出にすれば、２つに分裂した認識をひとつに統一できることに気づいた。

　図式的にいえば、次のようになる。最初に、吉本隆明氏の表出論（言語の自己表出と指示表出）があった。次に、黒田寛一氏の認識論（「分析的下向と上向的綜合」・「科学＝哲学」・「対象認識と価値判断」によって、表出論（自己表出と指示表出）は、「抽出過程と構成過程」・「形式性と指示性」に分裂した。しかし、「抽出過程と構成過程」を表出過程に統一し、形式性を自己表出に、また指示性を指示表出にいい換えることによって、再び表出論（自己表出と指示表出）が復活したのである。

　　　認識＝自己表出＋指示表出×ｉ

　２０００年に、『もうひとつのパスカルの原理』を書きなおしたとき、表出論は見通しのよいものになった。複素過程論の提起である。

　４　「論理的なもの」の構造　

　弁証法試論（「試論２００３」）において、わたしは「論理的なもの」の構造として自己表出と指示表出を想定した。しかし、このときわたしは、自己表出と指示表出に対して、同一性（永続性や普遍性）と差異性（時代性や個別性）を対応させた。

　認識は、自己表出と指示表出の二つの側面をもつ一つの複合体である。認識には、時代・分野・個人を限定する側面と超越する側面がある。限定する側面は指示表出に対応する。超越する側面は自己表出に対応する。認識の普遍性と個別性は、自己表出と指示表出の側面に対応する。

　これは『もうひとつのパスカルの原理』のモチーフを矮小化するものだった。強調していえば、吉本隆明氏の表出論に逆戻りするものだったのである。認識論における自己表出と指示表出の基礎は、別の場所に想定しなければならなかったのである。しかし、出来なかった。負い目が残っていた。それゆえ、ホームページ「弁証法試論」やブログ「対話とモノローグ」で手探りしてきたのである。

　九鬼周造氏の『偶然性の問題』やアインシュタインの認識論を検討することによって、認識における表出論が徐々に見えるようになってきた。そして、昨年（２０１０年）になって、沢田充茂氏の記号論を契機として、認識において、どのように自己表出と指示表出を位置づけなければならなかったのかがわかったのである。

　わたしは「ひらがな表出論」において、吉本氏の表出論を「表出の波動説」と特徴づけ、わたしの表出論を「表出の粒子説」　と特徴づけた。やっと、表出論の違いを明確に出来るようになったと思う。