無限級数の闇と謎(更新)

　リーマンの謎に関しては､しつこい程に”無限級数”というのが登場します。ある意味､現代数学のトリックにも似たものでしょうか。　　
　そこでもう一度､”無限級数の和”というものをおさらいします。

　無限級数の和とは､数列{aₙ}にて､∑ₙ[1→∞]an=a₁+a₂+a₃+･･･+aₙ+･･･で表される事は何度も書きましたが。実はですね､これは"＋で結んだ単なる式”であり､無数の項を全て足し合わせた”極値ではない”のです。　　
　つまり､数学的には無数の足し算をやる方法は定義出来ない。では、数学的には無限級数の和を､どう定義するのか？
　そこでまず､Sₙ=a₁+a₂+a₃+･･･+aₙという有限項の部分和を作り､lim(1→∞)Sₙ=Sに収束する時､無限級数の和=∑[1→∞]aₙ=Sと定義する。
　つまり､無限級数の和とは､数列から部分和を作り､その部分和の極限(値)の事で､言い換えれば､(無数項の足し算はできないが)部分和を無限に拡張し､全ての項を足した極値として､定義してるだけの事ですね。

　お陰で､部分和を変更する事で級数の和が様々に定義できる。それらを一般に総和法と呼ぶが､”収束する部分和の定義”に他ならない。

　アーベル総和法や振動アーベル総和法で､新たに定義される”新しい和”とは､”収束する様に部分和を変更した無限級数”に過ぎませんでした。そして､その新しい無限級数を使って､発散する筈の無限級数の極値を求めます。
　この新しく定義したこの無限級数を公式に落とし込み､インチキじゃない事を証明するのですが。数学が常に､証明がついて回るのも､仮定(過程じゃなく)というのが前提になってる訳です。

　あまり､ピンと来ないのですが。宇宙空間を例に取ると。宇宙という不確かな空間に対し､太陽系というある大きさに収束する部分空間を例に取り､この太陽系という空間を､無限に拡張した空間群が収束すれば､宇宙という無限空間もある大きさに収束するという訳で。実際､収束するのか膨張するのかは､証明されてませんが・・・

　この宇宙空間というのは､N次元空間をイメージするのにも重宝します。先ず､地球の周りを月が回ってるのを､1次元と考えると､地球が太陽の周りを回る太陽系は2次元。太陽系が銀河系の中心を回るのを3次元・・・
　すると､一気にN次元までイメージが拡張出来る。つまり､N次元とは､(Nー1)次元空間がN次元の中心を回ってる世界ですね。実際はもっと複雑なんですが・・

　”無限級数の和”という定義を改めて確認すると､”総和法”という見事なトリックの罠が見え隠れしますが。全ては直感と思考を鍛える為のツールかもしれません。