リーマン予想と素数の謎”１の３”〜オイラーの第一積分表示とガンマ関数の解析接続

　前回”その1”と”その2”で述べた様に､ゼータ関数の級数の項を絶対値で括る事で､ゼータ関数ζ(s)が複素数sの実部が1より大きい領域(右半分)で絶対収束する事を証明しました。
　しかしそれだけでは､sの実部が1より小さい領域(左半分)に広げる事は不可能です。そこで､リーマンは”解析接続”という魔術？を使うんです。でも､その為にはゼータ関数を別の形で表現する必要があります。
　このゼータ関数の別の形(トリック)こそが､”ガンマ関数”だったんです。

　リーマンはゼータ関数に対し､ディクリレ級数やオイラー積とは異なる新たな2つの積分表示を発見し､2通りの解析接続を与えます。

オイラーの第一積分表示

　オイラーは1749年に､ガンマ関数Γ(s)を使い､ζ(1−s)=ζ(s)2Γ(s)cos(πs/2)/(2π)ˢを発見＆予想します。”旧その1”も参照です。
　これは”オイラーの非対称型関数等式”と言われます。1739年という説もありますが､実はζ(1−s)とζ(s)の関連性を発見したのが1739年で､この非対称型関数等式を導き出したのが1749年でした。
　しかしリーマンは､このオイラーの非対称関数等式を､(π^(−(1−s)/2))Γ((1−s)/2)ζ(1−s)=(π^(−s/2))Γ(s/2)ζ(s)という新しい対称型関数等式に書き直します。
 　完備ゼータ関数をξ(s)=π^(−s/2)*Γ(s/2)ζ(s)とすると､ξ(s)=ξ(1−s)という見事な完全対称式になります。詳しくは次回の”1の4”で紹介します。

　オイラーは1768年にも､ζ(s)=1/Γ(s)∫[0,1](log1/x)ˢ⁻¹/(1−x)*dxという(オイラーの)”第一積分表示”を発見します。これがなかったらリーマンの解析接続もなかった訳ですが。
　ガンマ関数であるΓ(s)=∫[0,∞]e⁻ˣxˢ⁻¹dxもオイラーが最初に導入し(1729年)､”第二種オイラー積分”と言われます。
　リーマンは､この(オイラーの)第一積分表示で､x＝e⁻ᵗ で置き換え､ζ(s)=1/Γ(s)∫ₜ[0,∞]tˢ⁻¹/(eᵗ−1)*dt､Re(s)>1―①と変形させ､これをリーマンが1859年の論文でゼータの解析接続に活用します。
　故に､”リーマンの第一積分表示”とも呼ばれます。
　これは､x＝e⁻ᵗよりdx/dt＝−e⁻ᵗ､(x=0,1)→(t=∞,0)､log(1/x)=log(eᵗ)=tですね。故に､∫ₓ[0,1](log1/x)ˢ⁻¹/(1−x)*dx=−∫ₜ[0,∞]tˢ⁻¹(−e⁻ᵗ)/(1−e⁻ᵗ)*dt=∫ₜ[0,∞]tˢ⁻¹/(eᵗ−1)*dt。これで①は明らかですが､①を導き出す為の証明が少しややこしい。

　まず､初項e⁻ᵗ､公比e⁻ᵗの無限等比級数の公式により､e⁻ᵗ+e⁻²ᵗ+•••+e⁻ⁿᵗ=e⁻ᵗ/(1−e⁻ᵗ)
=1/(eᵗ−1)=Σₙ[1,∞]e⁻ⁿᵗ。　
　故に､∫ₜ[0,∞]tˢ⁻¹/(eᵗ−1)*dt=∫ₜ[0,∞](Σₙ[1,∞]e⁻ⁿᵗ)tˢ⁻¹dt=Σₙ[1,∞]∫ₜ[0,∞]e⁻ⁿᵗtˢ⁻¹dtー②。
　ここで､u＝ntとおくと､
∫ₜ[0,∞]e⁻ⁿᵗtˢ⁻¹dt=∫ᵤ[0,∞]e⁻ᵘeᵘ(u/n)ˢdu/u=n⁻ˢ∫ᵤ[0,∞]e⁻ᵘuˢ⁻¹du=n⁻ˢΓ(s)。
　これは上で述べたΓ(s)=∫ᵤ[0,∞]e⁻ᵘuˢ⁻¹duで､”第二種オイラー積分”となってます。　
　よって②より､∫ₜ[0,∞]tˢ⁻¹/(eᵗ−1)*dt=Σₙ[1,∞]∫ₜ[0,∞]e⁻ⁿᵗtˢ⁻¹dt=Σₙ[1,∞]n⁻ˢΓ(s)=ζ(s)Γ(s)となり証明終了です。
　(注)Σₙ[1,∞]=Σ(n=1,∞)､∫ₜ[1,∞]=∫(x=1,∞)と略記です。

ガンマ関数の解析接続

　上述した”ガンマ関数”Γ(s)は、階乗の概念を複素数全体に拡張した特殊関数で､Re(s)>0なる複素数sで絶対収束し､Γ(s)=∫ₓ[0,∞]e⁻ˣxˢ⁻¹dx―③という”広義積分(第二種オイラー積分)”で定義されます。
　基本的な性質は､Γ(s+1)=sΓ(s)とΓ(n+1)=n!ですが。この二つはよく使うので､頭に入れときましょう。
　因みに､広義積分で絶対収束するとは､被積分関数の絶対値を定積分した値が収束する事です。
　このガンマ関数は､オイラーの時代は”Π”が使われてたが､18世紀後半にルジャンドル(仏 1752〜1833)が記号”Γ”を用いてから､ガンマ関数の呼称も定着した。

　さてと最初に､ガンマ関数Γ(s)が収束する事の証明ですが。被積分関数e⁻ˣxˢ⁻¹の収束を調べます。
　先ず､積分の上端(x→∞)では､e⁻ˣがどんな多項式xˢより､早く増大するより収束する。故にΓ(s)の上端は収束します。
　一方､積分の下端(x≧0)の時､e⁻ˣ≦1より区間(0<x<1)で､∫ₓ[0,1]|e⁻ˣxˢ⁻¹|dx≤∫ₓ[0,1]|xˢ⁻¹|dx
=∫ₓ[0,1]x^(σ-1)dx=1/σとなり､Γ(s)の下端も収束する(”1の2”参照)。但し､σ=Re(s)>0。
　故に､Γ(s)は複素数sの実数部Re(s)が0より大きい時に収束。定義域も1から0に右側に1つだけ広がりました。たった1つ広げるのにこれだけ苦労するんです。　

　リーマンの第一積分表示であるζ(s)=1/Γ(s)ₜ∫[0,∞]tˢ⁻¹/(eᵗ−1)*dtで明らかな様に､ζ(s)はガンマ関数Γ(s)を分母に､”広義積分”を分子にした関数となってます。
　故に､ゼータ関数の解析接続には､先ずガンマ関数が解析接続され､次に広義積分が解析接続される事が必要です。
　ガンマ関数の解析接続では､Γ(s+1)=sΓ(s)―④という基本性質を使います。この証明は部分積分の公式(∫f'g＝fg−∫fg')より､明らかで､Γ(s+1)=∫ₓ[0,∞])e⁻ˣxˢdx=∫ₓ[0,∞](−e⁻ˣ)'xˢdx=[−e⁻ˣxˢ]ₓ(0,∞)−∫ₓ[0,∞](−e⁻ˣ(xˢ)')dx=0+s∫ₓ[0,∞]e⁻ˣxˢ⁻¹dx=sΓ(s)となり証明出来ます。
　但し､lim[x=∞]e⁻ˣxˢ=lim[x=0]e⁻ˣxˢ=0より､[−e⁻ˣxˢ]ₓ(0,∞)=0−0=0は明らかですね。
　(注)､[−e⁻ˣxˢ]ₓ(0,∞)はF(x)=−e⁻ˣxˢの時､F(∞)−F(0)の事です。

　ここで④を使い､任意の複素数sでΓ(s)は定義できます。例えば､s=−1/2の時､Γ(−1/2)=−2Γ(1/2)の様に､変数を1つずらし､sの実部が正である1/2に帰着します。
　故に､Γ(−3/2)=(−2)²Γ(1/2)､､､Γ(−n−1/2)=(−2)ⁿ⁺¹Γ(1/2)。
　上の様に解析接続を進め､Re(s)>0から全てのRe(s)に拡張できます。
　しかし､④よりガンマ関数は､s=0の時は解析できず”極”となる。故に､Γ(0)が極になる為､Γ(−1)も極に。同様に､Γ(−1)が極で､Γ(−2)も極､､､Γ(−n)も極です。
　つまり､s=−n(負の整数)時も極ですね。
　これで､ガンマ関数Γ(s)が極(s=0､−n)以外で”解析接続”できる事が解りました。つまり､極(s=0､−n)でも無限大に発散するので､1/Γ(s)は全ての複素数sにて収束します。

　上述した様に､元々ガンマ関数はオイラーが”階乗”の概念を複素数に拡張した特殊関数で､sが自然数の時Γ(s)=(s−1)!が成立します。
　証明ですが､Γ(1)=∫ₓ[0,∞]e⁻ˣdx=[−e⁻ˣ](0,∞)=0−(−1)=1。④より､Γ(2)=1•Γ(1)=1､Γ(3)=2Γ(2)=2･1､Γ(4)=3Γ(3)=3･2･1､､､Γ(n)=(n-1)Γ(n-1)=(n−1)!と簡単ですね。
　これはΓ(s+1)=sΓ(s)と並び､ガンマ関数の基本的な2大性質です。是非覚えときましょう。

リーマンの第二積分表示

　ゼータ関数をガンマ関数で表す積分表示には､前述した”オイラーの第一積分表示”の他に､ζ(s)=1/(π^(−s/2)*Γ(s/2))∫ₓ[0,∞]{(f₂(x)−f₂(∞)}/2)*x^(s/2)*dx/xがある。但し､f₂(x)=Σₘ[−∞,∞]e^(−πm²x)。
　これを”リーマンの第二積分表示”といい､”オイラーの第一積分表示”ζ(s)=1/Γ(s)∫ₓ[0,1](log1/x)ˢ⁻¹/(1−x)*dxや”リーマンの第一積分表示”ζ(s)=1/Γ(s)∫ₜ[0,∞]tˢ⁻¹/(eᵗ−1)*dtとは区別します。因みに､このリーマンの第二積分表示は完備ゼータの積分表示になってる事を頭に入れといて下さい。

　イラストにあるオイラーの第一積分表示(1768)と第二種オイラー積分(1729)とオイラーの非対称型関数等式(1749)も､これから何度も何度も出てきますのでしっかりと頭に叩き込んでおきましょう。
　ガンマ関数の”解析接続”が終った所で今日は終了です。