夏休みの宿題〜無限級数の仮の姿と真の姿と〜(7/18更新)

　昨日､リーマンと読書ブログのバックナンバーを読んでくれた方､どうも有難うです。最近､リーマンブログに偏ってる傾向にありますが。他のジャンルも宜しくです。

　さてと､夏休みになると､勉強とかしたくないですよね。特に､育ち盛りの子供たちは。余程､興味津々な宿題じゃない限りね。
　勉強にも遊び心と冒険心がなければ､全く無機質の行為に過ぎませんもの。

　ホンの少し難しいですが。暑さを吹き飛ばすには､丁度いい､捻くれた問題です。屁理屈だと思って､聞き流して下さい。

1+2+3+•••＝という､自然数の無限の総和があります。さてと､この答えはいくつでしょうか？

無限大か､またまた､−1/12？か。

実は､両方とも正解なんですよ。

　というのは､通常の実数の世界では､当然無限大ですね。しかし､実数を複素数の世界にまで拡張すると。答えは､なななんと−1/12になるんです。
　自然数の無限の総和が何とマイナスになるなんて､それを考えるだけで､夏休みは終わりそうですね。

　証明に入りますよ。覚悟ですよ。

　まず､自然数の無限和＝X＝1+2+3+•••とします。すると､
X−4X＝(1+2+3+•••)−4(1+2+3+•••)＝
(1+2+3+•••)−2(2+4+6+•••)＝1−2+3−4+•••＝−3X､ですね。

　ここで､初項1､公比−xの無限等比級数の公式を考えます。高校1年位ですかね。
1−x+x²−x³+•••＝1/(1+x)､但し､|xl<1です。
　この両辺を二乗するか､微分するかで､簡単に1−2x+3x²−4x³+•••＝1/(1+x)²が得られますね。

　これに､x＝1を代入すると､1−2+3−4+•••＝1/4です。よって､−3X＝1/4より､X＝1+2+3+•••＝−1/12､となります。エエエ？

　因みに､x＝−1を代入すると､1+2+3+•••＝は､やはり無限大になるんですが。ここら辺は不思議というか､良くできてるというか。

　しかし､これはとても危険な計算ですね。x＝1では､無限等比級数は発散しますから。だから､通常の実数の世界では､勿論､この答え(＝−1/12)は間違いという訳で。

　でも､これが複素関数(複素空間)の世界だと､”一致の定理”という”解析接続”によって､x＝1を使っても発散しなく､合法なのです。故に､発散する筈の級数が､なんと−1/12に収束するんです。

　ここで少しややこしくなりますが。この”一致の定理”について述べます。少し耳が痛いんですが､辛抱です。

　無限等比級数の公式:1−x+x²−x³+•••＝1/(1+x)､をよく見てください。左辺が収束するのは､|x|＜1の範囲で､右辺が収束するのは､x≠−1の範囲です。実は､この2つの領域を繋げるのが､”解析接続”と呼ばれるものです。

　この2つの領域を繋げる為に､複素関数論における”一致の定理”を使うんです。この定理は､”複素平面内に広い領域Eとその中の狭い領域Dがある時､2つの関数がD上(狭い領域)で一致すれば､E上(広い領域)でも一致する”というものです。

　すると､上式の両辺は､狭い領域D(|x|＜1)で一致(収束)するので､その領域外の広い領域E(x≠−1)でも一致(収束)します。
　故に､狭い領域D(|x|＜1)の範囲外のx＝1を代入しても､発散する筈の左辺は､収束する(右辺＝1/2)のです。複素数上ではですが。

　この狭い領域こそが実数上でのみ許された範囲で､広い領域が複素数上で可能になる範囲となります。解析接続による拡張とは､つまりこういう事ですね。

　人間で例えると､会社(狭い領域＝実数域)では､全くのダメ社員(発散する)だが､家庭(広い領域＝複素数域)では､立派な家族思いの､信頼される父親(収束する)って､何処にもいますよね。もっとわかり易い例で言えば､一見淫乱(発散)に見える放蕩女も､広い視点で見れば､いい女(収束)なんですよ。
　
　つまり､実数の世界では､発散するという姿をした”自然数の和”も､複素平面上では､”収束する美しき無限級数”という事で。
　

　如何でしたか。私が言いたかったのは､定義域を広げる事で､答えも拡張するという事。考え方を広げる事で見方も広がるという事。何事も決め付けはいけませんな。どうです､子供の夏休みの宿題には､ピッタリでしょうに。

　無機質な計算ドリルを100万題やるより､こういった有機質な”ひねくれ問題”を1題やった方が､ずっとずっと楽しいですね。