皆既日食とアインシュタイン〜アインシュタイン”Episode8”

　｢アインシュタインEp5｣でも少し詳しく書きましたが､皆既日食はアインシュタインの一般相対性理論を証明するのに使われました。
　一般相対論では､太陽の様なとても大きな質量の近くを通過する光は重力の影響を受け､ 経路が曲げられます。故に､太陽の近くの恒星の位置がずれて見える筈だと天文学者らは考えた。が､太陽は眩しすぎて近くの恒星を観察する事が出来ないので､太陽が隠される皆既日食が利用されました。
　一般相対論とは､自然界の空間･時間･質量と運動の関係を(リーマン多様体を基とした)計量テンソルを使い､時空を4次元空間として見れば､重力による空間(多様体)の歪みを方程式として記述した力学の法則です。因みに私は､一般相対論じゃなく､アインシュタイン(のテンソル)方程式と呼ぶのが好きですね。ここは少し訂正です。
　このアインシュタインの相対性理論が登場するまでは､17世紀終盤にニュートン(英)により体系化された”ニュートン力学”が完全な法則とされてました。現代でも日常の殆どの力学的な運動は､ニュートン力学で記述できます。
　しかし19世紀終り頃になると､光の速さが実験的に求められ､結果､”光速は変わらない”事が発見されました。
　例えば､飛ぶ鳥を観察する時､立ち止まっている人と車に乗っている人では鳥の飛ぶ速度は違って見える。しかし､なぜか？光速は変わらない。 これはニュートン力学では説明できない為に､実験などでその理由が求められていた。
　ここでもアインシュタインは､”真空中の光速は一定である”事こそが自然界の原理であるとして､(実験ではなく)数学的記述を使って新しい力学､つまり特殊相対性理論(1905)を組み立てます。更には､特殊相対理論を拡張し､一般相対性理論(1916) を発表した。
　これらの理論は､(絶対的な座標や質量ではなく)観測者の運動によって”相対的”である事を原理としてる為､この名称があると。

　一般相対性理論では､常識からかけ離れた結論が導かれる為､発表された当時は理論に対する懐疑的な見方も根強く､”ニュートン力学を否定するものだ”と大きな誤解も受けました。
　しかし､”リンゴが真っ直ぐ落ちる”のがニュートン力学とするのなら､アインシュタインの力学は”リンゴが歪んで落ちる”。つまり､ニュートン力学の完成版が一般相対論だったんですね。私的な表現を使えば､”歪みをも含めた力学”と呼べましょうか。
　以降､実験や観測による一般相対論の裏付けを重ねる必要があり､これらの実験の1つとして注目されたのが皆既日食でした。
　つまり､一般相対性理論から予測される空間の歪みはとても小さく､非常に大きな質量を持つ物質でないとその効果は目に見えない。故に､太陽の近くに見える恒星の位置を測定する事で一般相対論の検証を試みようとします。が､太陽は眩しすぎて近くの恒星を観測出来ない。そこで､太陽の近傍の恒星を観測できる皆既日食が利用されました。

　一般相対論が発表された1916年から僅か3年後に観測チームがブラジルとギニアに派遣され､そこで得られた結果は､アインシュタイン方程式を支持するものとして発表された。
　以上､｢皆既日食と相対性理論｣を参考にしました。

　因みに私は､望遠鏡など持ってないから皆既日食と言ってもピンと来ないが､もし皆既日食がなかったらアインシュタインのその後は？
　という事で､今夜はアインシュタインと皆既日食に乾杯！

補足

　寄せられたコメントを一部参考にして､ニュートンとアインシュタインの重力場の方程式による係数比較の補足をしたいと思います。
　重力場とは､時空連続体の歪みであり､時空を4次元空間として見れば､重力場の(歪みを記述する)計量テンソルで定義する4次元のリーマン多様体として扱えます。
　一方で､質量が時空間を歪ませる事で重力が生じると考えれば､大質量の周囲の時空間は歪んでいる為､光は直進せずに光の進路が曲がる。つまり､光のとる測地線での距離(計量)が伸びる事から､計量が正(非負)になり､多様体上の各点に計量テンソルが与えられます。
　このリーマン多様体上で定義されるテンソルですが､上下に現れる同じ添字については常に和を取るとする縮約記法を用いると､少しですがややこし計算が楽になります。

　平ペッたく言えば､アインシュタインの重力場方程式を､歪みがゼロとした時のニュートンの重力場方程式との係数を比較する事で､kが導き出せます。
　まずニュートンの方程式は､空間中の密度ρの質量が重力場φを生み出すとすれば､微小増加を表すデルタ記号Δを用いて､Δ²φ=4πGρで表せます(但し､Gはニュートン重力係数)。
　一方で､アインシュタインの方程式はGᵤᵥ=kTᵤᵥで表せますから､両者の係数を比較すれば､k=8πG/C⁴を見つけだせる。
　と言いたいのですが､ここからが少し大変でして・・・

　アインシュタインは､”重力場=物質の配置や状態”を表す等式を計量テンソルで表現しようとしました。
　例えば､星の様な物質のエネルギーを右辺に代入すれば､その物質の周りの時空がどんな風に曲がってるかを数字(計量)で読みとる事が出来ます。故に､重力による時空間の歪みが決まれば､その空間中を運動する物質の運動方程式(測地線方程式)が決まるので､物質分布も変動する。
　つまり､測地線方程式では計量テンソルが重力(場)に大きく関わるから､アインシュタインはRᵤᵥ−gᵤᵥR/2という計量の式を編み出し､重力場を求めようとします。
　因みに､Gᵤᵥはアインシュタイン･テンソルとも呼ばれ､Gᵤᵥ=Rᵤᵥ−gᵤᵥR/2と書けます。
　これは､リッチテンソル(Rᵤᵥ)､計量テンソル(gᵤᵥ)､スカラー曲率(定数=R)が混在する等式ですが､(測地線の微分方程式を表す)クリストッフェル記号を用いて解く必要がある。
　こうした難解な等式を奇跡的に考え付いたアインシュタインですが､(彼は数学者ではないから)相当に苦労したらしい。
　この等式の両辺は､4次元2階の対称テンソルの形で書かれます。故に､アインシュタイン方程式は重力場をテンソルの形で表現する為に､その成分毎の各要素は連立偏微分方程式を1つ1つ解いて導く必要がある。

　そこでアインシュタインは､”(重力場=)物質の配置や状態がエネルギー･運動量テンソル(Tᵤᵥ)と定義できる”事から､比例係数kを用いて宇宙の方程式をGᵤᵥ=kTᵤᵥと予想しました。
　一度はテンソル計算の大きな壁にぶつかり､頓挫したアインシュタインですが(機転を利かし)､歪みがゼロのニュートンの重力場を考えます。
　そこで､gᵤᵥGᵤᵥ=−RとGᵤᵥ=kTᵤᵥ⇔Rᵤᵥ=k(Tᵤᵥ−gᵤᵥT)の2つ公式を使ってkを求めるんですが。
　上の公式を使った測地線方程式の近似からR₀₀=kρC²が､曲率テンソルの偏微分方程式の近似計算からR₀₀=∇²φ/C²が導けます。
　厳密には､曲率テンソルのR₀₀は上の添字がvで下の添字が0v0となるけど､縮約記法によりR₀₀としても構わない。
　故に､R₀₀=kρC²=Δ²φ/C²からΔ²φ=kρC⁴/2となり､ニュートンの重力場方程式と比較すれば､めでたくk=8πG/C⁴が導けます。
　一部､｢アインシュタインの重力方程式｣を参考にしました。途中のややこしいテンソルの計算は思い切り飛ばしましたが(悲)､大まかな流れとしてはこんなモンですかね。
　こうして､ガウスの曲率からリーマン多様体を経て､測地線方程式(運動方程式)をテンソルを駆使して一般相対論に結びつけたアインシュタインの天才は､見事という他ないですね。
　そもそも､一般相対論とはリーマン幾何学を土台として構築された重力場の理論であり､一般相対論は測地線方程式と重力場の方程式の帰結となってます。つまり､時間と空間を結びつけたこの理論では､ニュートンの万有引力で説明された現象が､時空連続体(4次元空間)の歪みとしても説明出来る。

　元々､一般相対論自体に関しては興味すらなかったんですが､アインシュタインという天才と人物を語る上で､最高のドラマを演じてくれたものだと今更ながら感心します。