モンティのパラドクス〜確率は見かけによる？（更新）

　直感で物事を判断すると大怪我をするというのは､数学の世界でも指摘される事だが､日常生活においても同じ事が言えるケースが暫し存在する。
　例えば､回転寿司屋で鮮やかな色合いの大トロが目についたとする。その横には貧相なカッパ巻きがある。マグロときゅうりでは勝負はついたようなもんだ。
　大衆の99％は迷わず大トロを選ぶ。1皿200円でも300円でも選ぶ。しかし､その大トロが腐ってたら､いや鮮度が著しく落ちてたら､カッパ巻きの足元にも及ばない。
　私は､博多のある有名な回転寿司屋でそんな経験をした事がある。(大トロで見事に裏切られ)動揺し我を忘れた私は､中トロと赤みを連続して注文した。結果は同じであった。
　それ以来(滅多に行く事はなくなったが)､万が一回転寿司に行く時は､巻き寿司かゲソ揚げを注文する様にしている。

　つまり､生モノのネタが安くて美味しいのは､”鮮度がいい”という初期条件付きである。一方で､カッパ巻きなどの巻き寿司に使われるネタは鮮度が一定してるから(条件に関わらず)当たり外れが少ない。
　こうした初期条件を無視して物事を直感で判断すると､かなり高い確率で痛い目にあう(多分)。
　そこで今日は､確率は見かけによるのか？を｢モンティ･ホール問題｣を例に上げて紹介します。

”モンティ”のパラドクス

　”モンティ･ホール”問題とは､一種の心理トリックで､モンティのジレンマやモンティのパラドクスとも称され､”直感で正しいと思える答えと論理的に正しい答えが異なる”疑似パラドクスとされる。

　3つの閉じたドアのいずれか1つに当たりが入っている。ゲストが1枚のドアを選ぶ。
　その後､ハズレのドアが司会者のモンティ･ホールにより1つ開かれる。故に､閉じた残り2枚のドアの当たりの確率は直感的に見ればだが､それぞれ同じ1/2になる筈だ。しかし､それは(論理的に見て)正しいのだろうか？
　実際は､プレイヤーには”最初に選んだドアから開けられていないドアに変更してもよい”とモンティに告げられる。
　ここでプレイヤーはドアを変更すべきだろうか？

　そこでマリリンが導いた答えは､”ドアを選び直せば確率は2倍の2/3になる”と。
　因みに､マリリン･ボス･サバントとは､ギネスに最も高いIQ(=308)を有すると認定された最後の人物(女性)でもある。
　1990年､｢マリリンに聞く｣のコラムで読者が”モンティホール問題”について質問した際､直感に反する彼女の回答が大きな反感を呼び､高名な数学者ポール･エルデシュまでもが反論する事態となる。しかし(皮肉な事に)､エルデシュの弟子ヴァージョニがコンピュータで計算し､マリリンの正しさが実証された。
　反論の投書には1000人近い博士号保持者からのも含まれ､その大部分は”ドアを変えても確率は同じ1/2であり､2/3にはならない”と。
　更に､”一般大衆の数学的知識の低さを憂慮する”とか､”君は明らかなヘマをした・・・世界最高の知能指数保有者である貴女が自ら数学的無知をこれ以上世間に広める愚行を直ちに止め､恥を知るべきだ”と罵られる始末。
　これに対しサバントは､”ドアを変えれば勝てるのは3回の内2回(のケースが考えられる)。しかし､ドアを変えなければ勝てるのは3回の内1回だけだわ”と反論した(イラスト参照)。

直感が外れた時､人は動揺する

　しかし､彼女に対する反論は9割を下らなかった。”現実が直観と反する時､人々は動揺する”とサヴァントはコラムで反論に応じる。
　”(確かに)司会者がハズレの扉を1枚開けるという前提(初期条件)を無視すれば､確率は五分五分になる。一方で､景品が扉2または扉3にあるなら､出場者が扉の選択を変えれば勝利する。つまり､どちらかでも勝てるのです。でも扉を変えなければ扉1に賞品がある場合しか勝てない”

　”最も高い知能指数を有する者が子供でもわかる些細な間違いを新聞で晒した”等の数多くの激しくも露骨な反論の嵐に耐え､彼女は持論を擁護し通し証明した。しかし､ドアの数を100枚に増やした例まで挙げて説明しても､正しく理解してもらえなかった。
　大騒ぎとなった原因として､数学的ルール(初期条件)に対する説明が不足し､”解釈”の余地(自由)があった事で､多くの混乱や反発を招いたと。　
　”どちらを選んでも変わらない”と批判した者の多く(特にプロ数学者)は､これ(初期条件)を知らなかったものとされる。

　(イラストでも明白な様に)サバントの解答を簡単に説明すれば､
　①(初期条件なしの)最初に､プレーヤーが当たりを引く確率は1/3である。
　②モンティがドアを開けた後に､プレイヤーがドアを変更しない時は､(当る確率は)そのままの1/3である。
　③プレイヤーがドアを変更する時は､最初に選択したドアがハズレなら､変更後のドアは当たりである。つまり､最初に選択したドアがハズレである確率2/3＝ドアを変更した時に当たりを引く確率2/3である。
　但し､最初の選択で当たりを引く確率は1/3が故に､ハズレを引く確率は2/3である。
　以上より､③からドアを変更した時の当たりを引く確率は2/3となる。

　因みに､100枚のドアを使った例では､プレーヤーが最初のドアを選んだ時､このドアの当たりの確率は1/100。次に､モンティが残り99枚のドアのうち98枚を開けてヤギを見せる。プレーヤーは2回目の選択をする。
　最初にプレーヤーが選んだ1枚のドアの確率(=1/100)と､”残り99枚のうち､正解を知ってるモンティが開こうとしなかった､たった1枚のドア”に変えて当たる確率(=99/100)が同じでない事は､(少しややこしいが)直感でも理解可能である。

　この様に､初期条件をしっかりと確認し､場合分けして論理的に考えれば理解できる事だが､サバントが指摘する様に､一度動揺した人間は直感に頼りたがる。
　事実､太平洋戦争もプロパガンダや陸軍の暴走だけでなく､こうした動揺し興奮した大衆の直感が招いた悲劇とも言える。

ゼノンのパラドクス

　勿論､パラドクス的な視点で見れば､最初からドアが1つ開いた状態で､2つのドアから1つを選ぶという問題であったなら(条件なしの)”事前確率”となり1/2 である。それに対し､ある条件によってドアが1つ開いた状態になった場合は､(条件付きの)”事後確率”となりはドアを変更しない時は1/3でとドアを変更すれば2/3 になる。この様に､条件があるなしでは確率が異なる事から､パラドックスといわれる理由がある。
　しかし､これは論理的に矛盾がある訳でもなく､”擬似パラドックス”とも呼ばれ､ドアが2択になった経緯(条件)を知ってるか知らないかの差､つまりが事後確率と事前確率との差が､確率の評価に影響している。数学的に言えば､モンティのパラドクスは直感による錯覚と事後確率が生んだ矛盾とも言える。

　しかし､ここまで書いても何故？と思う人は少なからずいるだろう。つまり､矛盾(パラドクス)というのは人生の後悔と同様に､数学の世界においても､しぶとく纏わりつくのである。
　そこで｢アキレスと亀｣で有名なゼノンのパラドクスを紹介する。
　現実的には､俊足で鳴らすアキレスが90M先にいる亀を追い抜く事は明らかですよね。
　しかし､これを数学的に見ればだが､最初に亀のいた位置にアキレスが辿り着いた時､亀は少し前にいる。以降､この繰り返しが永遠に続くから､”アキレスは亀に追いつけない”というのゼノンのパラドクス､いや理屈である。

　しかし､その無限の繰り返しに掛かる時間と距離は(収束するから)無限ではない。
　例えば､アキレスが90M進んだ時に(90M先にいた)亀が9M進んだとして､これが無限回繰り返されるから､アキレスの進んだ距離をXとすれば､X=90+9+0.9+0.09+0.009+･･･という無限等比級数が成立する。
　この初項90､公比1/10の無限級数が有限の値＝90/(1-1/10)=100Mを取る事は高校の数学で簡単に解けますね。
　同じ様に､この無限の繰返しに掛かる時間をTとすると､T=9+0.9+0.09+0.009+0.0009･･･となり､有限値(=10)を取る。
　つまり､アキレスが亀に追いつくに必要な時間(10秒)も距離(100M)もどちらも有限となる。故に､無限回という繰り返しの条件付きだが､アキレスは10秒後(100M後)に亀に追いつき､そして追い越すので､(現実的に見ても)数学的に見てもアキレスの勝ちとなる。

　しかし､ここでも問題(矛盾)は発生する。
　言われる通り､アキレスが亀に追いつくとすれば､無限にある筈の数を数え切れてしまう。言い方を変えれば､有限の時間内に無限の作業(繰り返し)が完了する。
　これこそがゼノンのパラドクスのパラドクスたる所以と言える。

　一方で､無限回という繰り返しは現実的に可能なのか？となる。
　そもそも､現実的に見て､99.99999･･･=100と言えるのか？
　いや､100Mという距離は無数の点からなるのか？
　仮に､100Mの距離が有限個の点からなるのなら､アキレスは簡単に亀を追い越せる。
　一方で､100Mの距離が無限個の点からなるとしても､加算無限(可能無限)なら無数個の点と言えど､アキレスは亀を追い越せるだろう。
　しかし､カントールが発見した非可算無限(実無限)なら､アキレスも亀も1Mを歩く事すらできない。勿論､アキレスが90M先にいる亀を追い抜くのは夢のまた夢である。
　しかし､上で述べた”90M先にいる亀”という初期条件を素朴に考慮すれば､加算無限でも非加算無限であっても､アキレスの前に亀はいるのである。

最後に〜無限とパラドクスの密な関係

　つまり､前提として”亀がアキレスの先にいる”と見れば､アキレスは亀を追い越せない。そこに矛盾は存在しない筈である。
　現代数学では､無限とは非加算無限の事であり､”距離は無数の点からなる(数直線上の線分)連続体である”と解釈される。但し､(カントールが証明した様に)非加算無限に次元は存在しないが､非加算無限を超える無限の存在は証明も反証もなされてはいない(連続体仮説)。
　しかし､非加算無限でも(アリストテレスがゼノンのパラドクスで指摘した様に)次々とパラドクスは報告されている。
　そこで数学者たちは､公理系といった数学の論理的なルール作りに改良を重ね､パラドクスが起こらない様に厳密な学問体系を作り上げてきた。故に､パラドックスは私たちに”無限とは何か？”という根本的な問いを投げかけ､数学はより厳密な学問として発展してきた。
　それでも､条件(ルール)の選択や考察次第では矛盾が発生する。更に条件がタイトになる。
　数学が厳密でややこしいのはその為で､だから嫌われるのだろう。

　この様に､初期条件を無視すれば､非常に曖昧で矛盾(パラドクス)に満ちて見える問題も､条件次第では(論理的にだが)正しくなる。
　つまり､現実的に(いや身の回りに)数多く発生する矛盾は､数学の世界でも同様であり､それらの矛盾を少しでも減らす為に､様々な公理体系が作られる。
　これは人間社会で時代に応じたルール(初期条件)作りがなされるのと同じである。しかし､ルールを無視しては健全な人間社会が構築されないように､公理や条件を無視しては､現代数学は成り立たないのである。

　多くの数学者を勘違いさせたモンティ･ホール問題も､2400年以上も学者らを悩ませ続けたゼノンのパラドクスも､ルールを無視すれば全てが矛盾に滑稽に見える。　
　だが､矛盾に満ちてるから人生も数学もドラマチックなんだろうけど・・・