ラッセルの不可解なるパラドクス(前半)〜床屋さんと素朴集合論の矛盾

　矛盾には色々とあって､単純な錯覚や思い違いによるものや､条件の解釈次第では矛盾が発生するもの等がある。だから､人生にも数学にもパラドクス(矛盾や逆説)がなくなる事はないんですが。だから人生も数学も厄介だが､愉快だと言えなくもない。
　｢モンティのパラドクス｣は条件付きの”事後確率”のテーマとも言えるが､我らが確率と呼んでるものは通常は条件なしの”事前確率”の事である(多分)。つまり､条件を無視したが故の単純なパラドクスであり､如何に直感が錯覚を生む事がよく分かる。
　一方､｢ゼウスのパラドクス｣では､初期条件(亀がアキレスの先にいる)がネックになり､その後の考察次第ではパラドクスが生じでしまう。
　今回紹介する｢ラッセルのパラドクス｣では､(初期条件に相当する)命題を真か偽で判断した場合､どっちつかずの不可思議な矛盾が発生する。つまり､条件を野放しに定義すると､素朴集合論の中にラッセルの矛盾が生じてしまう。
　但し､この矛盾を回避するには､厳密な公理を事前に準備する必要がある。つまり､数学の厳密さで徹底的に矛盾の元となる古典的な曖昧さを削除しようという訳だ。

　｢ラッセルのパラドクス｣とは､(カントールが構築しフレーゲによって発展した)素朴集合論における矛盾を導くパラドックスであり､ラッセルはそれを指摘し､更に矛盾を解消しようとした。故に｢ラッセルの逆理｣とも呼ばれる。
　因みに､素朴集合論とは(後で述べる)公理系集合論の無矛盾性や完全性を扱っていないという意味での”素朴”であり､自然言語を使用して､集合や集合の操作(and,or,notなど)を記述する理論は､現在でもより高度な数学で用いられる。
　｢床屋のパラドクス｣に代表される様に､ラッセルのパラドクスでは､仮定(条件)がどちらに転んでも矛盾する。
　このパラドックスは､ZF公理(又はZFC公理系)で知られるツェルメロが1年先に発見してたが､彼はヒルベルトら近い友人にしか知らせず､その発見を公開してはいない。故に､｢ツェルメロのパラドクス｣と呼ぶべきだとの声も多い。

ラッセルの指摘

　ラッセルは､”自分自身を要素として含まない集合全体の集合”を集合論の例として取り上げ､素朴集合論の矛盾を指摘した。直感の鋭い人は､この文脈を見ただけで矛盾が起こりそうだと感じるかもですね。
　そこで､全体集合Uを”あらゆる集合xを要素として持つ集合”とすれば､任意のxに対し､x∈Uと定義できる。
　因みに､”∈”は内包記号と呼ぶが後々大きな意味を持ってくるので一応確認です。
　また､”自分自身を要素として含まない集合の集合”であるRを変数xに関する命題関数x∉xを用いて､R={x∈U|x∉x}と(内包記号∈,∉を用いて)定義すれば､R⊂Uという関係が出来上がる。
　但し､Rをラッセル集合と呼び､”自分自身を要素として含まない集合全体の集合”がRとなってる事がわかりますね。
　この時､x∈R⇔x∉xー①が成立し､一方で､この逆を取れば､x∉R⇔x∈xー②が成立します。
　以下､WIISさんのコラムを参考にして説明します。

　そこで､Uの定義によりR∈Uが成立し､RはU部分集合が故に､Uの要素であるRはUの部分集合であるRの要素であるか？否か？となる。
　まず､R∈Rと仮定すると､これはRの定義①よりR∉Rとなるから矛盾する。しかし､R∉Rとすれば､Rの定義②よりR∈Rとなり､これもまた矛盾する。
　この様に､命題関数”x∉x”から集合を内包的に定義するやり方には､どっちつかずの矛盾がある事がわかります。つまり､命題関数を真理集合(真の値を取る関数)として集合を定義するやり方には限界がある。
　故に､ラッセル集合Rが正しいか正しくないのか､証明すら出来ない。言い方を変えれば､”自分自身を要素として含まない集合の集合”であるRは､”自分を要素として含むかどうかさえも決定できない”となる。

　これを有名な｢床屋のパラドクス｣に当てはると､”ある村に一人の床屋がいて､彼(男)は自分でヒゲを剃らない全ての人のヒゲを剃るが､自分でヒゲを剃る全ての人のヒゲを剃らない。では､誰が床屋のヒゲを剃るのか？”　
　そこで､上の条件を満たす床屋からなる全体集合をUとする。
　ここで､集合A⊂Uを{x∈U|xは自分のヒゲを剃らない}と内包的に定義すると矛盾が生じる。集合Aがラッセル集合に相当する事に注意です。
　これは､”床屋が自分でヒゲを剃る”と仮定すれば､”自分でヒゲを剃る全ての人のヒゲを剃らない”という定義より矛盾するし､一方で床屋が”自分でヒゲを剃らない”とすれば､”自分でヒゲを剃らない全ての人のヒゲを剃る”に矛盾する。

集合とは何か

　そこで､このラッセルのパラドクスを回避する前に､集合の基本の基を確認します。
　これを知ってると知らないとでは大きく理解が異なってきます。少し面倒ですがお付き合いください。
　ある条件を満たす対象をすべて集めたものを集合(set)と呼び､個々の集合をA,B,C,,,とアルファベットの大文字で記し､集合Aの要素(元=element)をaとする時､a∈Aと書く。また､要素ではない時はa∉Aとなる。AとBが全く同じ要素を持つ時はA=Bと記します。
　そこで､集合を表現する方法として”外延的表記”(名簿表記)と”内包的表記”がある。
　前者の外延的表記から説明すれば､集合Aの要素が1,2,3という3つの数字からなる時､A={1,2,3}と表す。但し､外延表記では要素の順番は集合には関与せず､{1,2,3}={3,2,1}=Aとなる。
　ただ､要素が多すぎて表記できない時は､例えば､全ての自然数を要素とする集合をAとすると､A={1,2,3,･･･}と記し､省略記号⋯を用いて表現する。

　一方で､集合は”命題関数”から定義出来る。つまり､条件(命題)さえあれば集合は存在する。
　命題関数とは､その関数の形状と定義域(議論領域)に代入する変数(解釈)が決まれば､真(=1)または偽(=0)を値とする命題が得られる事からその名がついたとされる。
　例えば､x∈Xに関する命題関数P(x)が与えられた時､命題P(x)が真になる定義域Xの要素xを全て集めればP(x)の(論理式が真の値(=1)をとる)真理集合Aが得られる。
　そこで､そのような集合をA={x∈X|P(x)}と記し､これは任意のxに対し､”x∈A⇔命題P(x)が真”を満たす。
　この表記法を”内包的表記”と呼ぶ。但し､x∈Xが文脈から明らかな場合は､{x|P(x)}としても構わない。また､”x∈A⇔命題P(x)が真”の逆を取れば､”x∉A⇔命題P(x)が偽”となり､{x∈X|¬P(x)}と記す。”¬”とは偽を表す記号に注意。

　一方で､命題P(x)は真か偽のどちらか一方を取るから､集合AをA⊂Xと定義すれば､定義域Xの変数xは集合Aに属するか否かとなる。つまり､x∈A(=P(x)が真)またはx∉A(=P(x)が偽)となる。
　簡単な例では､整数Zに対し､正の整数の集合A⊂ZをA={x∈Z|x>0}と記せば､10∈Aであり−10∉A。つまり､同じ整数でもAの要素である数と要素でない数に分かれる。
　つまり､外延的表記では要素の属性の表現が難しい集合を､内包的表記では形式的(論理的)に明確に表現できるシンプルな記法と言えますね。

　因みに､内包的や外延的の記法は公理や定義にても使われる。
　まず､”内包公理”(comprehension axiom)は包括原理とも呼ばれ､”命題さえ決まれば(それに対応する)集合が必ず決まる”事を言います。つまり､”任意のP(x)に対し､P(x)を満たす元xの集合A={x∈X|P(x)}が存在する”と定義できる。単に､内包記号∈を使って定義するからとしても間違いじゃないとは思いますが・・・
　また､”外延性公理”(extensionality axiom)とは”集合はそれに含まれる要素(元)により一意的に定まる”と主張し､”全く同じ要素からなる2つの集合は等しい”となる。
　素朴集合論(naive set theory)はこの2つの公理でまとめる事ができるが､内包公理が命題そのもの(性質)を指すのに対し､外延性公理では命題を満たす要素全体(外観)を指す。
　ラッセルのパラドクスでは､この”ナイーブ”な内包公理を無差別に使うと矛盾が発生する。故に､”自分を要素としない集合の集合”という悪循環を犯しそうな内包公理を排除するが。その代わりに､(後半で述べる)制限された内包公理である”分出公理”を使う。
　つまり､(”自分を要素としない集合の集合”という曖昧な集合ではなく)何か既知の集合を全体集合と考えて固定し､その要素の集合を内包的定義で定める事で矛盾を回避するというものである。

　因みに､哲学でも使われる2つの言葉だが､内包は積集合(∩)で､外延は和集合(∪)で規定されると。
　少し長くなったので､前半はここで終了です。次回の後半はこの不可解なラッセルのパラドクスをどうやって回避するかがテーマです。