リーマン予想と素数の謎”番外編その８”〜振動アーベルの総和法の一般公式

　前回の”その7”では､振動アーベル総和法の､ζ(−1)＝"1+2+3+•••"＝lim[x,0+]Σ[k=1,∞]ke⁻ᵏˣcos(kx)＝−1/12､0＜x(≒0)の証明をしました。

　今回は振動アーベル総和法の特殊公式ではなく､”一般公式”についてです。
　今日で､”アーベル総和法”ブログの更新は終わりですが､全4話を付き合って頂いた方､ホントご苦労さんです。多分いないと思いますが(笑)。


特異項と剰余項と＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

　前回同様､少し形は違いますが､S(x)＝Σ[k=1,∞]k､H(x)＝Σ[k=1,∞]ak*e⁻ᵏᵠ⁽ˣ⁾cos(kx)､0＜x､0＜φ(x)ー①､と定義します。
　勿論､{ak}は級数の事ですよ。

　また､前回同様少し形は違いますが､
G(z)＝Σ[k=1,∞]ak*e⁻ᵏˣー②､z∈C(複素数)､とし､G(z)＝A(z)+C+O(z)ー③とします。

　因みに､A(z):特異項､C:定数､O(z)はランダウの記号(微妙に揺れ動く挙動値)です。特異項A(z)と剰余項O(z)の違いにも注意です。

　前回同様､オイラの定理:eⁱᶿ＝cos(θ)+isin(θ)を使い､cos(θ)＝1/2(eⁱᶿ+e⁻ⁱᶿ)を得ます。θ＝kxとして､cos(kx)＝1/2(eⁱᵏˣ+e⁻ⁱᵏˣ)ー④とします。

　②より､ G(φ(x))＝Σ[k=1,∞]ak*e⁻ᵏᵠ⁽ˣ⁾ー⑤。
　①④⑤より､H(x)＝G(φ(x))*cos(kx)＝ G(φ(x))*1/2(eⁱᵏˣ+e⁻ⁱᵏˣ)ー⑥を得ます。

　上の⑤⑥式を合わせ､計算します。
　H(x)＝1/2*Σ[k=1,∞]ak(e⁻ᵏ⁽ᵠ⁽ˣ⁾⁻ⁱˣ⁾+e⁻ᵏ⁽ᵠ⁽ˣ⁾⁺ⁱˣ⁾)＝1/2(G(φ(x)+ix)+G(φ(x)−ix))＝1/2((G(z)+G(z‾))となります。少しややこしいですが､kで括る所がキモです。
　因みに､z＝φ(x)+ix､z‾＝φ(x)−ixという事で､スマホではオーバーバー(‾)が文字の上に表現できないので､悪しからずです。
　
　故に③より､ H(x)＝1/2(A(z)+A(z‾))+C+O(z)となります。

　この特異項のA(z)+A(z‾)を消す為､特異方程式を1/2(A(z)+A(z‾))＝O(z)となる様に､φ(x)を以下の様に定義します。
　ここでx→0+の時､O(z)→0となるので､定数Cが振動アーベル総和H(x)の収束値になるという事で。


総和関数と特異関数と＿＿＿＿＿＿＿＿＿

　級数{ak}と総和関数G(z)､特異関数φ(x)の関係は以下の様になります。

ak＝1､G(z)＝−1/z−1/2+O(z)､ φ(x)＝cot(π/2)x+ O(x³)
ak＝k､G(z)＝1/z²−1/12+O(z)､ φ(x)＝cot(π/4)x+ O(x⁴)　
ak＝k²､G(z)＝−2/z³+O(z)､ φ(x)＝cot(π/6)x+ O(x⁵)
ak＝k³､G(z)＝6/z⁴−1/120+O(z)､ φ(x)＝cot(π/8)x+ O(x⁶)
ak＝kⁿ､G(z)＝A/zⁿ⁺¹+ζ(−n)+O(z)､ φ(x)＝cot(π/(2n+2))x+O(xⁿ⁺³)。　

　因みに､cotx＝tanx＝cosx/sinxで､cotxはcot(nπ)で極(±∞)を持ち､cot((2n+1)π/2)で0。故に､cot(πx/2)は､x＝2n+1で0になり､x＝2nで極(±∞)を。cot(πx/4)は､x＝4n+2で0になり､x＝4nで極(±∞)を持ちます。cot(πx/6)､cot(πx/8)､､､cot(πx/(2n+2))も同様です。
勿論､n∈Z(整数)です。

　ak＝kの時の､”1+2+3+•••”の振動アーベル総和は､オイラーの定理とベルヌイの定義とマクロリン展開を使い､特異項1/z²を消し去りましたが。ここでは､φ(x)＝cot(π/4)x+ O(x⁴)と定義する事で､特異項を消すんですね。　　
　
　詳しくは､https://xseek-qm.net/Regularization.htmの平均アーベル総和法(5-3)を参照です。
　この方法では”留数定理”を使いますが。”その5”で紹介する予定の､リーマンの”素数定理”の証明でも使われるカギとなる定理です。説明は超長くなるのでここでは省きます､悪しからずです。
　
　結局､級数{ak}に応じ､それぞれの収束値や総和法の公式やその求め方が異なるんですが､解析接続と全く同じですね。


振動アーベル総和法の一般公式＿＿＿＿＿

　次に､級数{ak}と振動アーベル総和法の公式H(x)は､以下になります。

ak＝1､ H(x)＝Σ[k=1,∞]1*e^(−kx³)*cos(kx)､
ak＝k､ H(x)＝Σ[k=1,∞]ke⁻ᵏˣcos(kx)､
ak＝k²､ H(x)＝Σ[k=1,∞]k²e^(−kx√3)*cos(kx)､
ak＝k³､ H(x)＝Σ[k=1,∞]k³e^(−kx(1+√2))*cos(kx)､
ak＝kⁿ､ H(x)＝Σ[k=1,∞]kⁿe^(−kx*cot(π/(2n+2))*cos(kx)､

　lim[x,0+]H(x)に当てはめ､級数{ak}の収束値を計算すると､　
"1+1+1+•••"＝lim[x,0+]Σ[k=1,∞]1*e^(−kx³)*cos(kx)＝−1/2､
"1+2+3+•••"＝lim[x,0+]Σ[k=1,∞]ke⁻ᵏˣcos(kx)＝−1/12､
"1²+2²+3²+•••"＝lim[x,0+]Σ[k=1,∞]k²e^(−kx√3)*cos(kx)＝0､
"1³+2³+3³+•••"＝lim[x,0+]Σ[k=1,∞]k³e^(−kx(1+√2))*cos(kx)＝−1/120､
"1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+•••"＝lim[x,0+]Σ[k=1,∞]kⁿe^(−kx*cot(π/(2n+2))*cos(kx)＝ζ(−n)､
　以上修正です。

　故に､振動アーベル総和法の一般公式を使えば､"1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+･･･"＝ζ(−n)という見事に美しいゼータ関数で表現されます。ゼータ関数が無限級数を収束させるとは､目から鱗です。

　無限級数の､ゼータ関数の収束こそが､オイラーの夢であり､アーベルの希望でもあり､リーマンがその夢を実現する事で､現代数学の礎となったんです。
　そして､この美しさこそが､数多くの偉大な数学者をゼータの魔力の虜にさせたんです。
　

補足と計算結果と＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

H(x)＝Σ[k=1,∞]ke⁻ᵏˣcos(kx)＝−1/12にて､実際に､x＝0.001を代入し､数値計算すると､H(0.001)＝Σ[k=1,3000]k*e^(−k0.001)*cos(k0.001)＝0.083333498•••≒−1/12となりますが。これは､”その6”でも述べました。

　ここで､k*e^(−kx)の部分を減衰率､cos(kx)を振動周期というのですが。振動周期はそのままし､減衰率を2倍に緩くして再計算してみます。
　すると､Ｈ(0.002)＝Σ[k=1,3000]k*e^(−k0.002)*cos(k0.001)＝1199.916•••≒1200と､かなり大きくなります。
　今度は減衰率そのままに､振動率を倍にします。Ｈ(0.002)＝Σ[k=1,3000]k*e^(−k0.001)*cos(k0.002)＝−2000.08333•••≒−1200と､全く逆になりますね。

　これは､減衰率と振動周期が連動しない場合､級数が収束しない事を示してます。全く不思議ですね。e関数とcos関数の連動とバランスが大切なんでしょうかね。何だかピンと来ませんが､面白いと言えば面白いです。