数学は宇宙を繋ぐ？(前半)〜｢ABC予想｣の混乱と大きな可能性

　NHKBSでは｢数学者は宇宙をつなげるか？ABC予想の証明をめぐる数奇な物語｣という見事なタイトルで､20世紀最大の難問の一つとされる｢ABC予想｣を説明していた。
　このABC予想には(掛け算だけでなく)”足し算が含まれるから誤解を招き､難題に変貌した”と言う。
　数学には難題が付きものだが､足し算という日常生活でも見慣れた演算が､数学に難関という大きな壁を作り､その向こう側にある広大な宇宙を遮ってるとしたら､これほど悔しい事はない。
　しかし､｢ABC予想｣が解き明かされる事で､数学が宇宙と現実を行き来できれば､これほど愉快な事もない。

　”n≥3で､Aⁿ+Bⁿ=Cⁿなる互いに素な自然数(A,B,C)の組は存在しない”という､350年間も多くの数学者を混乱の淵に陥れた｢フェルマーの最終定理｣。
　確かに､これが掛け算だけなら､”Aⁿ+Bⁿ=Cⁿ”は”(AB)ⁿ=Cⁿ”となり､(A,B,C)が互いに素な自然数(但し､n≥3)の組だとすれば､明らかに(AB)ⁿ≠Cⁿとなり､フェルマーの最終定理は簡単に証明できる(多分)。
　つまり､これと同じ様な事が｢ABC予想｣でも起こり得ると､番組では説明する。
　でも､小倉久寛さんのナレーションには痺れます。数学を伝えるには､美しいトルクの効いた声も必要なんですよね。

｢ABC予想｣って､一体ナニモン？

　過去に何度か記事にしましたが､この｢ABC予想｣を改めて簡略して説明すれば､
　”A+B＝Cを満たす､互いに素な自然数の組(A,B,C)に対し､この組の互いに異なる素因数の積を根基(radical)と呼び､D=rad(ABC)で表すと､C>Dを満たす”という主張である。
　事実､3つの数(2,7,9)の組はC=2+7=9を満たし､D=2×7×3=42となる。故に､C<Dは明らかで､｢ABC予想｣を満たさない。
　こういう数の組は圧倒的に多いが､例えば(1,8,9)の組ではC=1+8=9で､D=1×2×3=6となる。故にC>Dとなり､上の主張を満たす。
　しかし､C>Dとなる(A,B,C)の組も無限に存在する。そこでDを少しだけ大きくし､”たかだか”有限個に出来ないかを考え､”任意のε>0に対し､C>D¹⁺ᵋは”たかだか”有限子しか存在しない”と｢ABC予想｣を定式化出来る。
　つまり､｢ABC予想｣とは”稀にあるケース”(高々有限個)という事になる。

　因みに､｢ABC予想｣の(オステルレ=マッサーによる)定式化は以下である。
　任意のε>0に対し､ある正の定数K(ε)≥1が存在し､A,B,Cが互いに素な自然数でA+B=Cを満たす時､A,B,CそれぞれのMaxが積ABCの根基D=rad(ABC)の(1+ε)乗の一定数K(ε)倍より小さい。つまり､C<D¹⁺ᵋK(ε)が成立する。
　以上､少し修正しました。悪しからずです。

　一方で､｢ABC予想入門｣の著者の黒川信重氏が主張する､”一元体”(=F1)の言葉を使ってABC予想を記述してみます。
　例えば､素数p,q,…,r が与えられた時､(何回でもよいから)掛け合わせてできる自然数の全体をF₁[p,q,…,r] と書く。
　そこで､A+B=Cを満たす解の組がいくつあるかを考える。その様な解の組(A,B,C)が互いに素である時に‹素解›と呼ぶ事にすれば､”素解は‹高々有限個›しかなく､しかも積pq…r で抑えられる”という主張こそが､”絶対数学版ABC予想”という事になる。

｢ABC予想｣の起源と歴史

　｢ABC予想｣が”何を意味するのか？”は､大方理解できたかもですが(多分^^♪)。
　”どんな必要があって”こんな難しい予想を思いついたのか？
　以下でも述べますが､ジョセフ･エステルレ博士(仏)が1985年にABC予想を発見します。　
　この時点で､フェルマー予想を証明する為の2つの大きな道が呈示されました。
　1つは､谷山(=志村)予想への帰着で､もう1つはABC予想への帰着です。
　前者は､ゲルハルト･フライ(独)とケン･リベット(米)が､後者はオステルレとデーヴィッド･マッサー(英)が提唱しました。
　故に､ABC予想は”オステルレ=マッサー予想”とも呼びます。

　当時は､難関の谷山予想が証明がなされるのはずっと先の事だろうとされたので､殆どの数学者達はABC予想に期待をかけました。
　しかし､アンドリュー･ワイルズ(英)だけは谷山(=志村)予想を追いかけ､”弱い”谷山予想(半安定のモジュラリティ定理)を証明する事で､1995年にフェルマー予想の証明に漕ぎ着けます。
　因みに､谷山=志村予想は2001年にワイルズの弟子リチャード･テイラー(米)により完全証明がなされました。

　ここで､ABC予想だけが残った訳ですね。
　以降､様々な数学者が挑みますが､フェルマーの最終定理と同様に､頑として跳ね続けました。
　なおABC予想は､リュシアン･スピロ(仏)が
提唱した楕円曲線E(の判別式⊿の導手f)に関する｢スピロ予想｣(の強い予想)と同値な事がわかってる。逆を言えば､スピロ予想は弱いABC予想と同値である。
　因みにスピロ予想とは､|⊿|≤C(ε)f⁶⁺ᵋで､強いスピロ予想とは､Max{|C₄|³,|C₆|²}≤C(ε)f⁶⁺ᵋです。が､勘のいい人はこの両式を見て､何らかのヒントに気付く筈かもですね。

　実は､スピロ予想の多項式版は1963年に小平邦彦(1915-1997)によって､スピロ予想が定式化する前に証明されてました。
　ABC予想が発見される前､多項式版ABC予想ともいえる｢ストーサーズ=メイソンの定理｣が発見され､楕円曲線の｢スピロ予想｣などと密接に関係し､マッサーとエステルレによりABC予想が提示されます。
　もしABC予想が証明されれば､モーデル予想やロスの定理のK(ε)の有効な評価が与えられ､フェルマー予想などの大定理の別証明が得られます。更にあるL関数族の例外零点(ジーゲル零点)の非存在をも証明できるとされる。

　ABC予想をはじめ､スピロ予想やフェルマー予想､或いはリーマン予想やラングランス予想などの数論の予想は､(整数版に対し)多項式版や関数版が既に存在します。
　それは証明が多項式版の方が易しいからで､”多項式では微分が出来､次数を下げれるからだ”(黒川談)だそうで､(｢フェルマー予想に挑戦｣でも書いたんですが)フェルマー予想の多項式版は､僅か数行で証明できますね。
　その黒川信重氏は､｢ABC予想入門｣の中で､望月氏の論文が数学が壮大な宇宙の広がりを持つ事を予見している。
　以上､自らの過去の記事と｢ABC予想入門｣のレビュー群を参考に纏めました。

足し算と掛け算と遺伝子の数奇な関係

　しかし今日は､この(超ややこしい)ABC予想の説明ではなく､(冒頭で述べた)”足し算が存在するが故に､ABC予想が難解になる”事に焦点を当て､この宇宙をも繋げる難題を眺めていきたいと思います。
　以下､｢ABC予想証明をめぐる数奇な物語(前編)｣から一部抜粋です。

　2020年4月､｢ABC予想｣と呼ばれる数学の未解決問題を日本人が証明したニュースが駆けめぐった。証明を成し遂げた人は京都大学数理解析研究所教授･望月新一博士で､若くから世界的天才として知られた人でした。
　｢ABC予想｣の証明の基幹となる望月博士の”宇宙際タイヒミュラー理論”。
　この望月博士の偉業は(一旦は)世界に正式に認められたと思われたが､望月の証明はまだ受け入れられないと主張する数学者が多数現れ､今も激論が続いている。

　完全に正しいとする数学者がいる一方で､なぜ多くの数学者が理解出来ないのか？
　ある数学者は言う。
　”その答えを知りたければ､宇宙際タイヒミュラー理論がこれまでの数学と何が違うのか？それを理解しなければならない”

　｢ABC予想｣の難関と望月理論がもたらした異常事態とは？
　ミッシェル･ワルドシュミット博士(仏)は､”まずは<かけ算は簡単だけどたし算は難しい>という事を理解すべきだ”と語る。
　”<かけ算は簡単で､たし算は難しい>って､私たちの感覚とは正反対です。でもこれがABC予想への入り口なんだ”

　全ての数は素数のかけ算に分解する事が出来る。例えば､126=2×3×3×7。
　博士はこれを”126は､2と2つの3とそして7という遺伝子を持ってる”と言う。
　例えば4×21=84では､4=2×2は2つの2の遺伝子を､21=3×7は3と7の遺伝子を持ちます。一方で､84=2×2×3×7は､2つの2と3と7の遺伝子を完全に受け継いでますね。
　つまり､素数のかけ算で生まれた新たな数は､素数の遺伝子を完全に受け継いでいる。
　これこそが､”かけ算は簡単だ”という理由だ。
　では､たし算の場合はどうなるのか？
　4+21を遺伝子で見れば､生まれる子の25は5×5だから､4は2の2つの遺伝子を､21は3×7で3と7の遺伝子を持つが､5×5は2つの5の遺伝子を受け継いでる。
　故に､たし算では遺伝子は全く受け継がれない。

　更に博士は､”たし算は受け継がれる筈の数の遺伝子を壊してしまう。たし算で生まれる数がどんな遺伝子を持つのかは､予め予測できまない。
　つまり､遺伝子をどこまで破壊してしまうのか？破壊の程度を予測する方法はないのか？
　数学に難問が沢山ある理由は､それは数学の世界に(かけ算だけでなく)遺伝子を破壊するたし算が存在するからだ”と語る。
　

エステルレ博士が見つけた不可解な数式

　2つの数A,Bを足した後にできる子どもCの遺伝子の形は､親の遺伝子からは全く見当がつかない。
　この不愉快な事態を何とかしたいと考えたエステルレ博士は､試行錯誤の末の1985年､子どもの遺伝子の形を予言する(後に｢ABC予想｣と呼ばれる)ある数式に辿り着く。
　それは､C<k(ε)rad(ABC)¹⁺ᵋで､書き換えると､C/rad(C)<rad(AB)で､これこそがエステルレ博士の奇怪なABC予想である。　

　因みに､整数Aを素因数分解した時に現れる素数を､それの冪(べき=重複する積)を無視して掛け合わせたものをrad(A)と書きます。
　そこで､3つの整数A,B,Cに対し”A+B=Cが成り立つ時､A,B,Cの絶対値はいずれもrad(ABC)の､ある冪乗の一定数倍で抑えられる”というのがABC予想の本質である。
　つまり､エステルレ博士の奇怪な数式”C/rad(A+B)<rad(AB)”は､(左辺に)足し算と(右辺に)掛け算が分離した形となり､これこそが混乱の原因となる。しかし､親であるAとBの遺伝子情報から､子どもCの遺伝子がある程度予言できる(抑えれる)というものでもある。

　例えば､2ⁿ+3ⁿで示される子どもの遺伝子の形がどうなるか？なんて想像もつかない。
　でも､博士の数式は次のように予言する。
　”子どもの遺伝子はnがどんな数でも<長さ1の枝しかない>または<長めの枝(べき乗)があったとしても5の位置にしか生えない>。そのどちらかに限られる筈だ”という。
　実際､nに色んな数を入れると､博士の予言どおりになる。つまり､あらゆる数もそのべき乗は5の位置にしか現れない。

　一見､変テコなこのABC予想だが､これを多項式で考えると､(素因数分解と同様に考えて)radが定義され､n次多項式とm次多項式の和の次数は､nとmの大きい方を超える事はないので､(冪指数も係数も不要な)単純な不等式が成立し､ABC予想も極めて簡単になる。
　しかし整数の場合､和をとるとその素因数分解はまるで違ったものになるから､全く難解になるのだ。
　エステルレ博士が偶然見つけたこの不思議な数式。但し､この数式がどんな足し算に対しても､正しい予言をするのか？
　それは博士にも分からなかった。
　そこで博士は､これを｢ABC予想｣として数学界に問いかけた。しかし､ABC予想は殆ど注目されなかった。
　つまり､”正しくても間違っていてもどうでもいい､大したことない予想だ”と思われていたのだ。

　少し長くなったので､今日はここまで。
　次回は後半戦という事で､ABC予想も数論ではなく､遺伝子というテーマで考えると多少は理解しやすくもなりますね。