リーマン予想と素数の謎”２の１２”〜n番目の素数の大きさと､素数定理の庶民的考察と〜

　”2の7”〜”2の11”では､少し本道を逸れ､番外編ぽくして”素数定理”を判り易く紹介したつもりですが。思った以上にややこしく､深く長い険しい道のりですね。
　因みに､チェビシェフ博士のイラストは若い時のものです。

素数の深い謎と素数定理の長い歴史

　この素数定理の謎は､リーマン予想の謎に直結し､古くはユークリッドやフェルマー､そしてオイラー(1760)の素数の研究やガウスの素数密度公式(後の素数定理)の発見(1791)に始まり､ルジャンドル(1798=最初の素数定理の発表)､ディリクレの算術級数(1837)､チェビシェフの不等式(1850)などを経由します。
　その後､プーサンとアダマール(1896)がリーマンが試みた様に､ゼータ関数や複素解析論を用いた､高度で複雑な手法で証明に成功しました。但し､彼らは､リーマンが主公式J(x)で表現した”π(x)~Li(x)=∫dx/logx”ではなく､チェビシェフ(第2)関数ψ(x)の明示公式”ψ(x)~x”を使った。

　因みに､素数定理と言う言葉が何度もでてきますが､一般にはπ(x)~x/logxと表現されますが､他にも幾つかのバージョンがあり､x/logxの精度を高めたπ(x)~Li(x)=∫dx/logxやチェビシェフ関数を使ったψ(x)~xやϑ(x)~xがあります。
　チェビシェフ関数に関しては以後何度もでてきますから､ここでは詳しい説明は省きます。

　以降､素数定理の証明の簡略化が進められ､1930年代にはランダウを経て､”タウバー型定理”(ウィナー&池原)を使ったシンプルな証明が得られます。
　因みに､フーリエ解析的発想に基づくとされるタウバー型定理では､素数定理とゼータの零点の定義(ゼータ関数がRe(s)=1上で零点を持たない”の同値性が確立され､−ζ(s)’/ζ(s)のRe(s)≥0上の正則性により､上述のψ(x)~xが導けます。
　そして､セルバーグ&エルデシュ(1949)が初等的証明を与え､一応の完結を見ます。
　その後､タウバー型定理の代りに､コーシーの積分定理を使い､素数定理の解析的な別の証明を与えたのがニューマンでした(1980年)。彼は−ζ(s)’/ζ(s)の正則性から､チェビシェフの(第1)関数を使った素数定理”ϑ(x)~x”が導けます。　

　この中でも特に､ディリクレの算術級数の素数定理とチェビシェフの”粗い素数定理”(ベルトラン予想)は､大きな変換点となりました。
　という事で､無謀にもこの2つの素数定理の証明をしようと思ったんですが､とてもじゃないがついて行けませんでした(悲)。
　”2の9”(Click)でディリクレの素数定理を､”2の11”でチェビシェフの素数定理の概略を少しだけ紹介しました。でも大げさですが､ロシアから北方領土を取り返す事のの1000倍ほどややこしいです(笑)。
　遥か､2千年前のギリシャ時代から受け継がれた数学の本質が､この素数定理に凝縮されてるかの如くです。 

リーマンとチェビシェフが挑んだ素数定理

　そこで今日は､”2の6”(Click)にまで逆上り､リーマンとほぼ同世代のチェビシェフ(1821-1894)が挑んだ､”粗い”素数定理を紹介します。
　この”粗い”素数定理とは､リーマンが追いかけた素数定理が非常に精度の高い”緻密”な素数定理であった為､こういう呼び方をするんですが。”粗い”といっても､その証明は怖ろしく難解なものです。
　｢素数とゼータ関数｣では､著者の小山信也博士が判り易く､素数定理を”初等的”な考察として紹介してありますが､とても凡人が理解できる次元ではありません。
　そこで2回に分け､チェビシェフの粗い素数定理を素人的見地から､その概要を簡単に紹介したいと思います。
　できるだけ忠実に判り易くとも思いますが､非常に理解に苦しむ所は省略します。

　さてと､”2の6”では､x→∞の時に素数が非常に少なくなる､つまり素数の割合が”0％”に近い事を証明したんですが。その少なさの度合いが凡そ”1/logx”の少なさというのが､素数定理の本来の意味なんですね。
　そこで登場するのが､素数の最大のテーマでもある素数定理です。これは粗く言えば､”n番目の素数の大きさ”を求める定理でした。
　その1(全12話)では､リーマンが行ったゼータの複素解析接続がテーマでした。
　その2(全20話)では､素数定理にシフトしました。一見､繋がりがない様に見えますが。素数の最大の謎､つまり素数定理こそが､リーマンが追い求めたもう大きな目標だったんですね。
　事実､”全数学のうち､最も注目すべき大定理”とアーベルは驚嘆してます。
　リーマンは､ゼータを拡張した道具である複素解析を駆使して､自明な形の素数定理を導出しようと試みました。

　しかしこの”強い”素数定理の証明には､リーマン予想が解明される必要があったのです。ここで初めてリーマン予想というのがヨーロッパ中の注目を浴びる訳ですが､リーマン予想よりも先に素数定理が解けてしまった。
　上述した様に､”弱い”リーマン予想(Re(s)=1上にゼータの零点がない)でも素数定理は解けたのだ(アダマール&プサン､1896)。
　ただ､証明されたこの素数定理は､リーマンが追い求めた自明な形の”強い”素数定理ではなく､チェビシェフが追い求めた”粗い”素数定理の精度を上げた､素数定理(π(x)~Li(x)=∫dx/logx)だったんです。
　つまり､チェビシェフがいなかったら､素数定理は解けなかった？ろうと。故に､このチェビシェフには異常なまでに拘るんですが。 

素数定理とリーマン予想

　この素数定理ですが厳密に言えば､正の実数xに対して定義される値”π(x)=x以下の素数の個数”の挙動に関する事実であると定義されます。
　仮に､全てのx(>0)に対し､π(x)の個数が判れば､どの数が素数であるかが全て判る。つまり､素数に関する謎が全て解けます。
　故にこのπ(x)を求める事が､現代の整数論の大きな目標の1つである。
　しかし､このπ(x)が求まる万能の方程式は､未だ誰も成功してはいない。この素数に関する万能方程式をリーマンは追い求めたんです。

　但し､リーマンによって発見された1つの事実がある。それは”明示公式”と呼ばれ､大雑把に書けば､π(x)=ΣᵨM(x^ρ)という誤差項のない完全な等式として表されます。
　因みに､ρはリーマンゼータの零点(根)を表し､右辺の和はρの全体に渡る。また関数Mは､区間[1､x]の特性関数のメリン変換(フーリエ変換)です。
　フーリエ変換とは､任意の関数は様々な周期(周波数)の三角関数の線形結合で表現できる。物理の言葉でいえば､任意の波は様々な周波数の波の重ね合せで表現できるという事で､ここでは詳しい説明は省きます。
　故に､リーマンゼータ関数の零点ρを用いれば､π(x)を誤差項なしでピタリと求める事が出来ますが､それら零点ρが未解決の”リーマン予想”なんですね。

　この未解決なリーマン予想を明示公式に適用し､得られた”過渡的な成果”こそが素数定理で､π(x)~x/logx､(x→∞)でした。
　そこで前述した様に､x→∞の時に素数が非常に少なくなるが､その少なさの度合いが”1/logx”くらいであり､これが素数定理の本質だと言いました。
　これは､15歳のガウス少年が発見した､”x以下の自然数が素数である様な確率がほぼ1/logx”だと言い換える事が出来ます。

　”2の5”で述べた様に､素数定理には精密な表示､π(x)~∫ₜ[2,x]dt/logt､(x→∞)があり､これを見ると”x以下の自然数”というより､”丁度xほどの自然数”に対するものと言える。
　故に､”2の6”で得た”0％”とは､1/logx=0､(x→∞)という極限値の事だったんですね。
　つまり､数が大きくなると素数の確率は0％(1/logx~0)に近くなると。

チェビシェフの素数定理(1850)

　そこで素数の個数に何故？対数関数logxが登場するのか？これには色んな説明が可能とありますが。
　ここでは､素数定理の”粗い”形として､π(x)の挙動がx/logxの定数倍として抑えられる事実､つまり､以下の様な不等式(チェビシェフ 1850)を満たす様な､C₁C₂の存在を示します。C₂x/logx≤π(x)≤C₁x/logxー①
　因みに､このチェビシェフの主張ですが､　C₂≤liminf[x→∞]π(x)/(x/logx)≤limsup[x→∞]π(x)/(x/logx)≤C₁の事で(infは下限､supは上限)､素数定理とはC₁=C₂=1です。
　これをチェビシェフの”第一の結果”と呼びます(”2の11”参照)。

　しかし､そこまで明確にC₁とC₂が決まらず､極限に幅がある状態を”粗い”素数定理”と呼びます。
　因みにチェビシェフは､”π(x)はx/logxから±10%以上離れる事はない”とした。これをチェビシェフの”第二の結果”と呼ぶ。これも”2の11”参照です
　なおチェビシェフは､仮に”極限値が存在するならば､C₁=C₂=1に限る”事も仮定の上とはいえ､証明してますから､実質の初等的な素数定理の証明はセルバーグやエルデシュが行ったよりも100年前になされた事になります。　
　更に､この事実を用い､”n番目の素数pₙ”の大きさの評価､つまり､D₂nlogn≤pₙ≤D₁nlognー②となる様なD₁D₂の存在を示します。

　しかし､この証明は非常にややこしく､幾つかの定義と補題と系を準備します。
　勿論､厳密に進める筈もないのですが。素数定理が､如何に世界中の数学者を悩ませた難題であるかを知って頂く為に､ある程度は突っ込んで説明します。

　今日は久しぶりという事で､ここまでにします。次回はややこしいだけの数式や関数のデパート状態ですが､悪しからずです。