リーマン予想と素数の謎”旧４の２”〜オイラーの偉業とゼータ関数の特殊値(前半)

　リーマンの謎にのめり込むキッカケとなったのが､｢数学の夢〜素数からのひろがり｣(イラスト)です。
　この本では素数の謎が､オイラーやリーマンによって解明され､ゼータとゼータの謎を生み､このゼータの統一こそが絶対数学の夢に繋がるとあり､その先にリーマン予想があるとしてます。20年前に初版された本ですが､とても読みやすいです。

　さて､本題に入ります。前回”旧4の1”では､リーマン予想と解析接続とゼータ関数の謎の大まかな概略について述べました。
　因みに､ゼータの解析接続については､”その1(全12話)”の前半で詳しく述べてますので､そっちを参考です。
　そこで､”ゼータ関数の生みの親”であるオイラーの偉業を紹介します。オイラーなくしては全ては始まらんのです。

ゼータの特殊値とは？

　只でさえ厄介なこのゼータ関数は､とる値によって､非常に奇怪な数式と値をとります。
　ゼータ関数に整数を代入したものをゼータ関数の特殊値と言いますが。特に正の偶数の特殊値にては､”バーゼル問題”を導いた同じ年にオイラーが導き出します(1735年)。
　続いてオイラーは､整数のゼータの特殊値の全てを導き出します。
　そこで今回は､正(整数)のゼータから始めます。正の整数の特殊値に関して言えば､ζ(1)=Σₙ(0,∞)1/n=∞(調和級数)､
ζ(2)=Σₙ(0,∞)1/n²=π²/6=1.664...､
ζ(3)=Σₙ(0,∞)1/n³=1.202...､
ζ(4)=Σₙ(0,∞)1/n⁴=π⁴/90=1.082...､
ζ(5)=Σₙ(0,∞)1/n⁵=1.036...､
ζ(6)=Σₙ(0,∞)1/n⁶=π⁶/945=1.017...､
と全く奇妙で奇妙でない様な値を取る。

　ζ(s)は､sが正の偶数の時は後でも述べますが､π²ⁿ×(ベルヌイ数)の形で表現されます。しかし､sが正の奇数の時は無理数となり､ラマジャンの定理が使われます。
　先ず､ζ(1)はゼータの起源と言われる”オーレムの定理”でゼータの極となります。
　次に､ζ(2)=π²/6は､オイラーをスターダムに押し上げた､有名な”バーゼル問題”(1735年)です。
　ζ(3)=1.202...は､アペリーの定数(無理数)と言われ､表示に関してはオイラーが発見します(1772年)。

バーゼル問題(1735年)

　ゼータの特殊値を求める際､オイラーは最初にζ(2)を求めます。
　先ず､sinxの無限級数展開より､sinx=Σₙ[0,∞](−1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)!
=x−x³/3!+x⁵/5!−x⁷/7!+•••と表現されます。
　次に､sinxの解が､0､±π､±2π､±3π､､､であるより､sinx=x(x−π)(x+π)(x−2π)(x+2π)•••
=x(1−x/π)(1＋x/π)(1−x/2π)(1＋x/2π)•••
=x(1−x²/π²)(1−x²/4π²)(1−x²/9π²)•••
=xΠₙ[1,∞](1−x²/n²π²)
　と無限級数(無限和)が無限積で表せます。これがヒントになり､2年後のオイラー積(1737)に繋がるんですかね。
　そこでx³の係数を比較すると､
1/3!=1/ π²+1/4π²+1/9π²+•••となり､
π²/6=1+1/4+1/9+•••=ζ(2)と目出度くバーゼル問題(1735年)が導き出せました。
　バーゼル問題の詳しい証明は､”旧4の4”でも述べますが､本当はこんな単純じゃないんですが。

”特殊値表示Ⅰ”(1735年)と正の偶数の特殊値

　以下､係数を比較し､偶数の整数値のゼータ(ζ(4)､ζ(6)､､､)を次々と求めていくのもアリですが。オイラーが実際に示した様に､三角関数の対数微分を使うとずっと楽になる。以下大まかに説明です。
　先ず､sinπx=πxΠₘ[1,∞](1−x²/m²π²)の両辺を対数微分しますが。この両辺の対数を取り､無限積を無限和の形にし､対数を取り去る為に両辺をxで微分します。すると､
Σₙ[0,∞]ζ(2n)x²ⁿ=−πx/2*cotπx+1/2と変形でき､オイラーの公式とベルヌイ数の展開式から､ζ(2k)=(−1)ᵏ⁺¹(2π)²ᵏB₂ₖ/2(2k)!という”特殊値表示Ⅰ”の公式を導き出します(1735年)。
　この詳しい過程は少し複雑なので､ここでは省略します。悪しからず。　

　この様にしてオイラーは､ζ(2),ζ(4),ζ(6),,,という正の偶数における特殊値を求めたんです。
　多分オイラーは最初は”解と係数の関係”を使い､手計算でゼータの値を求めようとした筈ですが。対数微分すれば､両辺の係数比較が楽になると思いついたんでしょうか。
　因みにゼータは､解と係数の関係を通じて､ガロア理論にも結びつきます。

　この特殊値の公式をよく見ると､上述し様に､ζ(2n)=π²ⁿ×(有理数=ベルヌイ数)の形になってますね。
　このベルヌイ数Bₙとは､1713年にヤコブ•ベルヌイが導入し､後でも述べますが､x/(eˣ−1)=Σₖ[0,∞]xᵏBₖ/k!のベルヌイ数の定義と､(eˣ−1)のテーラー展開との係数比較により比較的容易に求める事が出来ます。
　但し､B₀=1,B₁=−1/2,B₂=1/6,B₃=0,B₄=−1/30,B₅=0,B₆=1/42,B₇=0,B₈=−1/30,,,で､求め方は”旧4の4”に回します。
　因みに､ヤコブの弟ヨハンはオイラーの師匠で､ヨハンの息子ダニエルはオイラーの先輩で友人です。

”特殊値表示Ⅱ”(1739年)と負の特殊値

　以下に述べる､負(整数)のゼータの特殊値に関してもオイラーは､ζ(0),ζ(−1),ζ(−2),ζ(−3),,,が全て有理数になり､ζ(1−n)=(−1)ⁿ⁻¹Bₙ/nと簡単に書ける事を発見(1739年)。これを”オイラーの特殊値表示Ⅱ”といいますが､正のゼータの特殊値表示から4年掛かってます。
　一方で､B₃=B₅=B₇=•••=0より､ζ(−2)=ζ(−4)=ζ(−6)=•••=0は明らかですが､これは史上初のゼータ関数の零点の発見でもあり､その120年後の1859年にリーマンがさらなる零点を研究するきっかけを与えました。

　またオイラーは､mが正の偶数の時､ζ(m)とζ(1−m)の式を比較し､ζ(1−n)=Γ(n)2(2π)⁻ⁿcos(πn/2)ζ(n)という”非対称型関数等式”を発見します(1739年)。因みにガンマ関数Γ(s)の公式より､上式は､ζ(s)=Γ(1−s)2(2π)ˢ⁻¹sin(sπ/2)ζ(1−s)と変形され､リーマンが1859年の論文で使ったゼータの第1の関数等式となります。
ζ(0)=−1/2､
ζ(2)=π²/6⇔ζ(−1)=−1/12､
ζ(4)=π⁴/90⇔ζ(−3)=1/120､
ζ(6)=π⁶/945⇔ζ(−5)=−1/252､
ζ(8)⇔ζ(−7)､ζ(10)⇔ζ(−9)､､､を比較し､
ζ(2)=ζ(−1)*(−2)π²､
ζ(4)=ζ(−3)*(4/3)π⁴､
ζ(6)=ζ(−5)*(−84/315)π⁶､､､
を見出し､オイラーは上の関数等式を推測しました。天才の領域を遥かに超えてますね。

　因みにリーマンは､このオイラーの非対称型関数等式を解析的に厳密に証明し､更に推し進め､完備ゼータ関数を使い､完全対称型の第2の関数等式(詳しくは”1の4”を参照)に書き換えます。

最後に

　以上を纏めると､まずバーゼル問題及び正の偶数でのゼータ値の発見(1735年)をきっかけに､オイラー積(1737)⇒非対称型関数等式及び負の整数でのゼータ値の導出(1739)⇒オイラー積分表示(1768)⇒素数分布の推測(1775)へと繋がり､リーマンの素数公式を経由し､リーマン予想(1859)に至った。
　因みに､ζ(3)のアペリーの定数(無理数)に関しては､既にオイラーが表示式を見つけてましたが(1772年)。この時Z(ラテン読みでゼータ)が使われてたという事で､ゼータ関数論において”ゼータ”が使われた最初とされます。　
　こうしてオイラーは､オイラーの積表示だけでなく､ゼータの特殊値表示(sが整数の時のゼータの値)と､ゼータ関数の対称等式(ζ(n)⇔ζ(1−n))というゼータの3大性質を全て一人で発見した。これには全くの驚きです。
　そして､このオイラーの数々の偉業が､リーマンの偉業に繋がっていく。