リーマン予想と素数の謎”１の４”〜第1の解析接続とリーマンの第2積分表示

　前回”1の3”では､”第一積分表示”ζ(s)＝1/Γ(s)∫[0,∞]tˢ⁻¹/(eᵗ−1)*dtの分母であるガンマ関数Γ(s)の解析接続が終り､今回は､分子の方の”広義積分”の解析接続です。
　前回で使った”オイラー第一積分表示”よりも”リーマンの第二積分表示”の方が､この広義積分の収束を考え易いので､この第二積分表示の収束を考えます。
　まず積分の上端(x→∞)から探ります。
　リーマンの第二積分表示は､ζ(s)=1/(π^(−s/2)*Γ(s/2))∫[0,∞](f(x)−f(∞))/2)*x^(s/2)*dx/x､f(x)=Σ[−∞,∞]e^(−πm²x)でした。イラストも参照です。因みに､∫(x=0→∞)を∫[0,∞]に､Σ(m=−∞,∞)をΣ[−∞,∞]に略して表記します。悪しからずです。
　このリーマンが発見した第二の積分表示は､f(x)がテータθ関数になっており､後でも詳しく述べますが､”完備ゼータの積分表示”になる事に注意です(イラスト参照)。テータ関数θにては､次回”1の5”で詳しく述べます。
　つまり､”完備ゼータの積分表示=リーマンの第二積分表示”と覚えといて下さい。
　第二積分表示のf(x)の各項e^(−πm²x)は､x→∞にて指数関数的に急速に減少するので､どんな多項式のxˢ型を掛けても､被積分関数(∫で囲まれてる部分)は､x→∞にて十分小さくなります(収束)。
　一方､”第一積分表示”ζ(s)＝1/Γ(s)∫[0,∞]tˢ⁻¹/(eᵗ−1)*dtー①にても､被積分関数の分子のeᵗ−1は､指数関数的に十分に大きくなり､被積分関数は第二積分表示と同じ挙動で収束します。故に､積分の上端(x→∞)では分子の広義積分も収束です。
　ここら辺は､第二積分表示と第一積分表示を行ったり来たりで､少し混乱しますが。

　次に､積分の下端の0<x<1です。今度は①の広義積分の下端の､∫[0,1]tˢ⁻¹/(eᵗ−1)*dtー②を考えます。
　ここで､eᵗの”テイラー展開”(eᵗ−1=t+t²/2+t³/3+･･･)を用いて解析接続を進めます。大雑把な近似をすれば､t→0ではテイラー展開の初項tとほぼ同じで､eᵗ−1→tとみなします。
　仮にeᵗ−1＝tとするとそのまま当てはめ､②=∫[0,1]tˢ⁻²dt=1/(s−1)となる。但し､Re(s)>1の領域に限るのは､s=1で発散(極)する為です。

　そこで､eᵗ−1とtとのズレを計算です。
②=∫[0,1]{1/(eᵗ−1)−1/t}tˢ⁻¹dtー③と差の積分を表示します。
　ここで､カッコ内の”1/(eᵗ−1)−1/t”に注目します。これは1/(eᵗ−1)のローラン展開ですね。
1/(eᵗ−1)=1/t−1/2+1/12t+･･･+Bₙtⁿ⁻¹/n!+･･･ですね。
　因みに､このテーラー展開はリーマン予想では腐るほど出てくるので､特に神経質になる必要はないです。つまり､テーラー展開を使って近似の精度をより深くする事で､ゼータの解析接続をより広い範囲で行えると理解して下さい。
　このローラン展開の証明は､t/(eᵗ−1)=B₀−B₁t+B₂/2!t²+B₃/3!t³+•••
=Σ[0､∞]Bₙtⁿ/n!というテイラー展開によるベルヌイ数Bnの指数型母関数より明らかです。(B₀=1,B₁=1/2,B₂=1/6,B₃=0,B₄=−1/30,B₅=0,,,)

　よって､”左辺の展開式が初項に殆ど等しい”とし､ローラン展開の第2項以降の和を誤差として計算できる事から､lim[t→0]{1/(eᵗ−1)−1/t}=−1/2となり定数とみなせる。
　故に､先程の③は､∫[0,1]{1/(eᵗ−1)−1/t}tˢ⁻¹dt=∫[0,1]tˢ⁻¹dt=[tˢ/s](t=0,1)=1/s(1−lim(t→0)tˢ)=1/s=②。
　つまり､①の広義積分である②の∫[0,1]tˢ⁻¹/(eᵗ−1)*dtの収束性は1/sと同じ。
　但し､今度はs＝0が極となり､Re(s)＞0に限る。故に絶対収束域が1だけ広がリました。
　つまり､”ローラン展開による解析接続”で､この広義積分は左に1だけ拡張されました。まこれだけ苦心し､やっと左側へ１だけ広がった訳です。

　しかし､この解析接続は､初項だけでなく､第2項以降も同様に出来る。
　例えば､初項からtⁿ⁻¹までの和を左辺に移動し､tⁿ以降の和を誤差とみなせば､”sの実部が−nよりも大きい領域”にまで､ゼータの解析接続を得る。
　上でやった解析接続は､n=0の時に相当する。故に､広義積分の下端の収束を考える事で､一挙にゼータの解析接続が得られます。

　以上より､n→∞の時は極(s=1)を除く任意の複素数で､第一積分表示①の分子の広義積分が収束する。
　前回”1の3”で述べた様に､1/Γ(s)は全ての複素数で収束するので､ζ(s)は極(s=1)を除く全ての複素数で収束する。
　よって､めでたくゼータ関数の”第一の解析接続”が得られました。

　以上の流れを簡単に纏めると､ゼータの第2積分表示の分子(テータ関数)の解析接続の近似の精度を深める為に､ローラン展開を用いて収束値を出し､絶対収束域を広げていった結果､第1の積分表示の収束が得られ､第1の解析接続が得られました。
　広義積分の収束とローラン展開の近似による解析接続が非常にややこしいんですが。このややこしい過程を高校生でも理解できる様に解説して下さった「リーマン教授にインタビュー」の著者である小山信也氏に感謝です。　　
　”1の1”から”1の6”に続くゼータ解析接続の長い道のりは､この著書なくしては始まりませんでした。縦書きなので読み易いし､中古本も安いんで､リーマン教授を理解するにはユニークで専門的な書物だと思います。
　第一の解析接続が終わった所で､今日は終了です。