前々回の記事では「連続体の運動方程式」を導出しました。続いて、前回の記事では「流体力学の方程式」を導出しました。そこで、今回は「弾性体における運動方程式」と導出し、さらに弾性体を伝わる波（弾性波）の支配方程式（波動方程式）を導いてみます。
まずは「弾性体の運動方程式」を導出します。今回使用するのは次の4つの式です。
前回の記事と同様に、「加速度の定義式」と「弾性体の構成方程式（フックの法則＝応力とひずみの関係式）」を「運動方程式」に代入します。
弾性体の場合は、変位勾配が小さいと考えられるため、加速度の式（ラグランジュ微分）の非線形項を無視できると考えます。つまり、加速度はそのまま「変位を時間で２階微分したもの」として扱います。
後は式を整理して「弾性体の運動方程式」の形が現れます（下図・緑枠）。もし、加速度が無ければ（静止状態であれば）、この式は「変位の平衡方程式」となります。
それでは、この方程式から弾性波の支配方程式（波動方程式）を導いてみます。今回は２種類のアプローチを行います。
まずは、次のようにｘｉ軸方向の運動方程式（Ａ）をｘｉで微分します。ｘ‐ｙ‐ｚ系で言えば、ｘ軸方向の方程式をｘで微分するものです。同様に、ｙ軸方向の方程式をｙで、ｚ軸方向の方程式をｚでそれぞれ微分し、辺々足し合わせるものです。
さて、あるｘｉ軸方向の変位をｘｉで微分したものは、ｘｉ軸方向の垂直ひずみεｉｉとなります。上図の式の中で「ｅ＝∂ｕｉ／ｘｉ＝∂ｕｊ／ｘｊ」と集約したものは、ｘ‐ｙ‐ｚ系で言えば、ｘ、ｙ、ｚ各方向の垂直ひずみεｘｘ、εｙｙ、εｚｚの和に相当します。これを「体積ひずみ」と呼びます。
従って、ここで得られた波動方程式は「体積ひずみｅが弾性体中を伝播する」ことを表します。それでは、この「体積ひずみ」について、次の図のような直方体状の微小片を例に考えてみましょう。
いま、この微小片の各面に垂直応力が作用した結果、各辺が伸びて体積が増加した状況を想定します。この場合は微小片の体積が膨張したことになります。このとき、体積ひずみｅは「（体積変化）／（元の体積）」で表され、「３方向の垂直ひずみの和」にほぼ等しくなります。
弾性体内でこのような体積変化（膨張や圧縮）を生じ、それが波動として伝播して行きます。このような波は「圧力波（P波）」と呼ばれています。
続いて、ｘｉ軸方向の運動方程式（Ａ）とｘｊ軸方向の運動方程式（Ｂ）を考えます。方程式（Ｂ）をｘｉで微分、さらに方程式（Ａ）をｘｊで微分し、辺々引き算します。
ｘ‐ｙ‐ｚ系で例えると、ｘ軸方向の方程式をｙで微分、ｙ軸方向の方程式をｘで微分し、辺々引き算するようなものです。
今度はωｋが伝播する波動方程式が得られました。このωｋは「∂ｕｊ／ｘｉ－∂ｕｉ／ｘｊ」を集約したものです。この式の形は「どこかで見たことがある」ような気がします。
それもそのはず、ωｋは変位ベクトル（ｕ）の回転（rot ｕ）のｘｋ軸方向成分に相当します。また、微分の形を見ると「せん断ひずみεｉｊ」とよく似ています。
そこで、せん断ひずみ：ε１２と、変位ベクトルの回転の成分：ω３を比較してみましょう。
上の図は左から順に「（第１項の変形）＋（第２項の変形）→（両者を合わせた変形）」を表しています。
ここで、「ε１２」と「ω３」は共に第１項は等しいので、変形も等しくなります。一方、第２項は正負の向きが逆なので、その変形も互いに逆向きとなります。この結果、両者を合わせた変形も異なってきます。せん断ひずみ（ε１２）の変形は「斜めに潰れる（ひしゃげる）」ように変形します。一方、回転（ω３）の変形は「クルリと回転する」ように変形します。
つまり、弾性体内では部分的に回転するような変形を生じ、それが波動として伝播して行くことが示されました。このような波は「せん断波（Ｓ波）」と呼ばれています。
まずは「弾性体の運動方程式」を導出します。今回使用するのは次の4つの式です。
前回の記事と同様に、「加速度の定義式」と「弾性体の構成方程式（フックの法則＝応力とひずみの関係式）」を「運動方程式」に代入します。
弾性体の場合は、変位勾配が小さいと考えられるため、加速度の式（ラグランジュ微分）の非線形項を無視できると考えます。つまり、加速度はそのまま「変位を時間で２階微分したもの」として扱います。
後は式を整理して「弾性体の運動方程式」の形が現れます（下図・緑枠）。もし、加速度が無ければ（静止状態であれば）、この式は「変位の平衡方程式」となります。
それでは、この方程式から弾性波の支配方程式（波動方程式）を導いてみます。今回は２種類のアプローチを行います。
まずは、次のようにｘｉ軸方向の運動方程式（Ａ）をｘｉで微分します。ｘ‐ｙ‐ｚ系で言えば、ｘ軸方向の方程式をｘで微分するものです。同様に、ｙ軸方向の方程式をｙで、ｚ軸方向の方程式をｚでそれぞれ微分し、辺々足し合わせるものです。
さて、あるｘｉ軸方向の変位をｘｉで微分したものは、ｘｉ軸方向の垂直ひずみεｉｉとなります。上図の式の中で「ｅ＝∂ｕｉ／ｘｉ＝∂ｕｊ／ｘｊ」と集約したものは、ｘ‐ｙ‐ｚ系で言えば、ｘ、ｙ、ｚ各方向の垂直ひずみεｘｘ、εｙｙ、εｚｚの和に相当します。これを「体積ひずみ」と呼びます。
従って、ここで得られた波動方程式は「体積ひずみｅが弾性体中を伝播する」ことを表します。それでは、この「体積ひずみ」について、次の図のような直方体状の微小片を例に考えてみましょう。
いま、この微小片の各面に垂直応力が作用した結果、各辺が伸びて体積が増加した状況を想定します。この場合は微小片の体積が膨張したことになります。このとき、体積ひずみｅは「（体積変化）／（元の体積）」で表され、「３方向の垂直ひずみの和」にほぼ等しくなります。
弾性体内でこのような体積変化（膨張や圧縮）を生じ、それが波動として伝播して行きます。このような波は「圧力波（P波）」と呼ばれています。
続いて、ｘｉ軸方向の運動方程式（Ａ）とｘｊ軸方向の運動方程式（Ｂ）を考えます。方程式（Ｂ）をｘｉで微分、さらに方程式（Ａ）をｘｊで微分し、辺々引き算します。
ｘ‐ｙ‐ｚ系で例えると、ｘ軸方向の方程式をｙで微分、ｙ軸方向の方程式をｘで微分し、辺々引き算するようなものです。
今度はωｋが伝播する波動方程式が得られました。このωｋは「∂ｕｊ／ｘｉ－∂ｕｉ／ｘｊ」を集約したものです。この式の形は「どこかで見たことがある」ような気がします。
それもそのはず、ωｋは変位ベクトル（ｕ）の回転（rot ｕ）のｘｋ軸方向成分に相当します。また、微分の形を見ると「せん断ひずみεｉｊ」とよく似ています。
そこで、せん断ひずみ：ε１２と、変位ベクトルの回転の成分：ω３を比較してみましょう。
上の図は左から順に「（第１項の変形）＋（第２項の変形）→（両者を合わせた変形）」を表しています。
ここで、「ε１２」と「ω３」は共に第１項は等しいので、変形も等しくなります。一方、第２項は正負の向きが逆なので、その変形も互いに逆向きとなります。この結果、両者を合わせた変形も異なってきます。せん断ひずみ（ε１２）の変形は「斜めに潰れる（ひしゃげる）」ように変形します。一方、回転（ω３）の変形は「クルリと回転する」ように変形します。
つまり、弾性体内では部分的に回転するような変形を生じ、それが波動として伝播して行くことが示されました。このような波は「せん断波（Ｓ波）」と呼ばれています。
