ロシアン検証：期待値は3000を上回るのか

昨日は夜から新宿へ。
吉祥寺とどちらへ行くか迷ったのですが、
最終的には久々となる新宿行きとなりました。

東口方面に出る案もあったのですが、
面倒だったという理由で結局西口でまったりとなったのは秘密です。
あとあちゃますさんがひっそりと来ていたのが印象的でした。

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さて今回はロシアン検証の数理的な話です。
途中計算がありますので、
危険だという方は途中飛ばしてもらっても構いません。

《疑惑のロシアンルーレット》の補正値は+1000、+3000、+4000の中からランダムで選ばれる、
というのはCOJプレイヤーならご存知でしょう。
同じ条件下で+3000の補正値が得られる《ロデオドライヴ》に比べて不利にならないよう、
各補正値の出る割合を敢えて均等（つまり「各補正値が1/3で出る」）でないようにしている、
という説を検証するために調査を始めたのですが、
実際どのような割合で出れば期待値が+3000に近くなるかは興味深いところです。
そんな訳で早速計算で調べてみました。

＜＜＜ここから計算：問題のある人は飛ばして良いです＞＞＞

+1000、+3000、+4000が出る確率をそれぞれ p 、 q　、 r とすると

　p + q + r =1　…(1)

が成り立ちます。このとき補正値の期待値は

　1000 p + 3000 q + 4000 r

で表されるので、期待値が3000を上回るとき、

　1000 p + 3000 q + 4000 r > 3000 、

すなわち、

　p + 3 q + 4 r > 3　…(2)

となります。ここで(1)(2)から q を消去すると、

　p + 3 ( 1 - p - r ) + 4 r > 3　、

　-2 p + r > 0　、

よって、

　r > 2 p　…(3)

が得られます。

＜＜＜計算ここまで＞＞＞

結論をいうと、

　期待値が3000を越えるには、
　4000が出る割合が1000が出る割合の2倍を越える（4000の出やすさは1000の2倍より大きい）必要がある、

ということになります。

実際はというと1000が出る割合と4000が出る割合はほぼ同じなので、
期待値は確実に3000を下回ることになります。
つまり「期待値」を基準に見る限りは、
《疑惑のロシアンルーレット》は《ロデオドライヴ》の「完全下位互換」ということになります。

実際には「4000出ればワンチャン」とか「1000でも相討ち取れるから十分」などのプレイングで補う面が多く、
単純に期待値通りの動きとはならないのですが、
このような数理的なものの見方は頭に入れて良いかと思います。

以上、《疑惑のロシアンルーレット》の期待値の話でした。

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