リーマンの謎”３の７”(補足)〜素数定理とラプラス変換に関するタウバー型定理と

　素数定理の簡潔化された証明として､タウバー型定理を使ったやり方を”3の5”と”3の6”で述べましたが､寄せられたコメントを元に振り返ってみると､まだまだ不足がありますね。
　そこで､前回”3の6”の追記&修正版となりますが､素数定理の証明の簡単な流れからおさらいします。

　最初に､”3の4”と”3の5”でも述べた様に､第1チェビシェフθ(x)とその階差関数λ(n)､第2チェビシェフψ(x)とその階差関数Λ(n)を定義し､基本的な性質を調べます。
　次に､ψ(x)~xからπ(x)~x/log(ガウスの素数定理)が導ける事を証明します。また､θ(x)~xからπ(x)~x/logが導ける事も証明します。
　3つ目に以下でも述べますが､ψ(x)~xである為には､∫[1,∞](ψ(x)−x)dx/x²が収束する事が十分条件を証明します。
　4つ目も以下で述べますが､∫[1,∞](ψ(x)−x)dx/x²=∫[0,∞](ψ(eᵗ)e⁻ᵗ−1)dtであり､この値が存在する為には､£[ψ(eᵗ)e⁻ᵗ−1](s)=∫[0,∞](ψ(eᵗ)e⁻ᵗ−1)e⁻ˢᵗdtが､Re(s)≥0まで正則に解析接続される事が条件となる。
　但し､£(s)はラプラス変換です。

　最後に､£[ψ(eᵗ)](s)=∫[0,∞]ψ(eᵗ)e⁻ˢᵗdt=−1/s*ζ'(s)/ζ(s)と変形できるから､ψ(x)~xが成り立つには､”池原の定理”より､Λ(n)のディリクレ級数ΣₙΛ(n)/nˢ=−1/s*ζ’(s)/ζ(s)がRe(s)=1上に留数1(s=1)の極以外を持たない事が重要でした。これは､ζ(s)がRe(s)=1で零点(解)を持たない事と同値です。
　この証明は､ζ(s)がs=1+it上に零点を持たない事を示すんですが､オイラーの公式を使い､n^(−(σ+it))=n^(−σ)*e^(−itlogn)=n^(−σ){cos(tlogn)−isin(tlogn)}から､Re(n^(−(σ+it)))=n^(−σ)*cos(tlogn)を得ます。
　ここでσ>1に対し､−1/s*ζ’(s)/ζ(s)=Σ[n,∞]Λ(n)/nˢの両辺の実部を比較し､−Re{ζ’(σ+it)/ζ(σ+it)}=Σ[n,∞]Λ(n)cos(tlogn)/n^σとし､右辺を展開し矛盾を示して､証明します。

　つまり､素数定理の証明”ψ(x)~x”には､ζ(s)がRe(s)=1で零点(解)を持たない事が重要とはそういう事で､−ζ’/ζのラプラス変換による変形式である−1/(s+1)*ζ’(s+1)/ζ(s+1)−1/sが､ζ(s)の正則範囲であるRe(s)≥1からRe(s)≥0までに正則に解析接続される事が十分条件となります。
　これにより､極(留数)を除去し､ψ(x)~xを導き､素数定理の証明に繋げるんですね。　

　以下､寄せられたコメントを元に､上で述べた証明の流れを大まかに説明します。

　
ψ(x)~x､θ(x)~xならばπ(x)~x/log

　まず､ψ(x)~x⇒π(x)~x/logを証明します。
　ψ(x)=Σ[pᵐ≤x]logpは､1~nまでの全ての整数の最小公倍数(lcm)の対数に等しいので､lcm(1,2,...,x)=e^π(x)。故に､ψ(x)=log{lcm(1,2,...,x)}。
　ここで区間[1､x]を前半[1､w]と後半[w､x]に分ける.
　ψ(x)の上述の定義より､
ψ(x)=log2^ｍ₁･3^ｍ₂･･･Pπ(x)^(Mπ(x))≤π(x)logx
≤π(ｗ)logx+Σ[w<p≤x]logp*logx/logw
≤π(ｗ)logx+logx/logwΣ[w<p≤x]logp
≤π(ｗ)logx+ψ(x)logx/logw。
　故に､ψ(x)/x≤π(x)logx/x≤π(w)logx/x+logx/logw*ψ(x)/xが得られます。
　そこで､w=x/(logx)²とおく事で､π(w)logx/x→0､logx/logw→1となり､ψ(x)/x≤π(x)logx/x=1となるより､ψ(x)~x⇒π(x)~x/logが証明できました。
　以上､バカ正直にやったんですが､y=ψ(x)のクラフでy=ψ(x)がy=xに近似でき､感覚的にψ(x)≒π(x)logxとなるより､明らかではあるんですが。

　一方､θ(x)~x⇒π(x)~x/logを証明します。
　これも､θ(x)の定義より､θ(x)=Σ[p≤x]logp≤Σ[p≤x]logx=π(x)logx。
　θ(x)≥Σ[p¹⁻ᵋ<p≤x]logp≥Σ[p¹⁻ᵋ<p≤x](1−ε)logx
=(1−ε)(π(x)−π(x¹⁻ᵋ))logx。
　これより､θ(x)/(1−ε)≥(π(x)−π(x¹⁻ᵋ))logx⇔π(x)logx/x≤1/(1−ε)*θ(x)/x+π(x¹⁻ᵋ)logx/xー①が得られる。
　ここで､π(x¹⁻ᵋ)≤x¹⁻ᵋより不等式①は､π(x)logx/x≤1/(1−ε)*θ(x)/x+logx/xᵋと変形。
　不等式①と合わせ､θ(x)/x≤π(x)logx/x≤1/(1−ε)*θ(x)/x+logx/xᵋを得る。x→∞の時､θ(x)/x→1､logx/xᵋ→0より､1≤lim[x,∞]π(x)logx/x≤1/(1−ε)が導き､θ(x)~x⇒π(x)~x/logを証明出来ました。
　
　一方でθ(x)~x⇔ψ(x)~xの証明は､θ(x)~xならば､全てのxに対し､θ(x)≤Mxなる正数Mが存在し､また､n<log₂x⇔ⁿ√x<2⇔θ(ⁿ√x)より､log₂x<N≤1+log₂xなるNをとると､ψ(x)=Σₙ(1,∞)θ(ⁿ√x)=θ(x)+θ(√x)+θ³√x)+•••+θ(ⁿ√x)≤θ(x)+M√x+M³√x+•••+Mⁿ√x≤θ(x)+M√xlog₂x。これは､2~NまでN−1個の和が存在し､N−1≤log₂xより導けます。
　よって､θ(x)/x≤ψ(x)/x≤θ(x)/x+Mxlog₂x/√xが成立し､⇒は証明できました。
　⇐は､ψ(x)~xならば､ψ(x)≤Mxなる正数Mが存在し､θ(x)≤ψ(x)よりθ(x)≤Mも成立し､上の証明の逆を解き､ψ(x)−Mxlog₂x/√x≤θ(x)/x≤ψ(x)/xより⇒が証明できました。
　勘のいい人なら､ψ(x)とθ(x)の定義だけで､証明の大まかなイメージはある程度掴めると思いますが､実際にやってみると､とてもややこしいですね。

ラプラス変換から素数定理へ

　まず､ζ(s)はRe(s)=1で零点(解)を持たないから､∫[1,∞](ψ(x)−x)dx/x²が収束するならば､ψ(x)~xとなる。これは”ウィーナー=池永の定理”でも述べた様に､非負単調増加関数S(x)にて､∫[1,∞](S(x)−Ax)dx/x²が有限確定値に収束する時､S(x)~Axが成立する事より示せますが。この証明は､∫[1,∞](S(x)−x)dx/x²が収束するなら､S(x)~xが成立する事を考えます。
　簡単に述べますが､まず､limsup[x,∞]S(x)/x>1の矛盾を導き､limsup[x,∞]S(x)/x≤1。次に､liminf[x,∞]S(x)/x<1の矛盾を導き､liminf[x,∞]S(x)/x≤1。以上より､lim[x,∞]S(x)/x=1が示せます。
　故に､3番目のψ(x)~xである為には､∫[1,∞](ψ(x)−x)dx/x²が収束する事が十分条件が示せました。

　4番目の証明ですが､∫[1,∞](ψ(x)−x)dx/x²=∫[0,∞](ψ(eᵗ)e⁻ᵗ−1)dtの等式の値が収束するには､ψ(eᵗ)e⁻ᵗ−1のラプラス変換である£[ψ(eᵗ)e⁻ᵗ−1](s)=∫[0,∞](ψ(eᵗ)e⁻ᵗ−1)e⁻ˢᵗdtが､Re(s)≥0まで正則に解析接続される事が条件となります。
　これは､∫[1,∞](S(x)−Ax)dx/xˢ⁺²はRe(s)>0で正則だが､Re(s)≥0まで正則に解析接続される時､∫[1,∞](S(x)−Ax)dx/x²は収束し､その値はlim[s→+0]∫[1,∞](S(x)−Ax)dx/xˢ⁺²に等しい事から明らかですが。証明にはg(x)=(S(x)−Ax)/xとおき､ラプラス変換を使います。
　まずx=eᵗと置換し､∫[1,∞]g(x)dx/xˢ⁺¹=∫[0,∞]g(eᵗ)e⁻ˢᵗ⁻ᵗ(eᵗdt)=∫[0,∞]g(eᵗ)e⁻ˢᵗdtとなり､g(eᵗ)=I(t)とおくと､I(t)のラプラス変換£I(s)=∫[0,∞]I(t)e⁻ˢᵗdtはRe(s)>0で正則となるが､Re(s)≥0まで解析接続される時､£I(0)=∫[0,∞]I(t)dtが存在する。
　故に､£I(0)=∫[0,∞]I(t)dt=∫[0,∞](ψ(eᵗ)e⁻ᵗ−1)dt=∫[0,∞](ψ(eᵗ)e⁻ᵗ−e⁻ᵗ)dt/e⁻ᵗ=∫[1,∞](ψ(x)−x)dx/x²となり､上の等式が証明できました。　

　最後の証明ですが､ψ(eᵗ)のラプラス変換£[ψ(eᵗ)](s)=∫[0,∞]ψ(eᵗ)e⁻ˢᵗdt=−1/s*ζ'/ζである事と､−1/s*ζ’(s)/ζ(s)はRe(s)≥1で解析可能で留数1(s=1)の極以外は正則より､ψ(eᵗ)のラプラス変換を−1だけ平行移動すれば､∫[0,∞](ψ(eᵗ)−1)e⁻ˢᵗdtとなり､これはψ(eᵗ)e⁻ᵗ−1のラプラス変換を考えれば､極(留数)が取り除ける。
　また､£[ψ(eᵗ)e⁻ᵗ−1](s)=∫[0,∞](ψ(eᵗ)e⁻ᵗ−1)e⁻ˢᵗdt=−1/(s+1)*ζ’(s+1)/ζ(s+1)−1/sより､前述の∫[1,∞](ψ(x)−x)dx/x²=∫[0,∞](ψ(eᵗ)e⁻ᵗ−1)dtにおいて､lim[s→0]∫[0,∞](ψ(eᵗ)e⁻ᵗ−1)e⁻ˢᵗdt=∫[1,∞](ψ(x)−x)dx/x²が成立するには､−1/(s+1)*ζ’(s+1)/ζ(s+1)−1/sがRe(s)≥0まで正則に解析接続される事が(十分)条件となります。

　そこで､ラプラス変換による”ウィーナー=池原”のタウバー型定理である£[I(t)](s)=∫[0,∞]I(t)dtを､Newman(1980)がやった留数解析を用いた簡単な方法で示す訳ですが､長くなりすぎたのでここでは省略します。

最後に

　以上､大急ぎで素数定理を証明したんですが､簡潔な証明とは言っても､かなりややこしいです。
　結局､−ζ’(s)/ζ(s)=Σₙ[1,∞]Λ(n)/nˢ=Σₙ[1,∞](ψ(n)−ψ(n−1))/nˢ=s∫[1,∞]ψ(x)/xˢ⁺¹dx=s∫[0,∞]ψ(eᵗ)e⁻ˢᵗdtと変形でき､ψ(eᵗ)のラプラス変換£[ψ(eᵗ)](s)=∫[0,∞]ψ(eᵗ)e⁻ˢᵗdtとなる事から､£[ψ(eᵗ)](s)=−1/s*ζ’(s)/ζ(s)となったんですが。
　この”ラプラス変換によるζ’/ζの変形”こそが､Re(s)≥0までの正則性を導き､素数定理の証明の簡略化に結びつけたんですね。

　あんまり細かい事まで書くと､頭が混乱するので､ここではラプラス変換とタウバー定理が素数定理の簡略化された証明の強力なツールになる事を知っておくだけでも勉強になる筈です。
　因みに､ウィーナー=池原の定理と素数定理の関係は｢解析的整数論への誘い｣(雪江明彦著=写真)がオススメみたいです。

　最後に､貴重なアドバイスを下さったpaulサンと腹打てサンには感謝です。
　お陰で､素数定理の証明の1/3程は理解できましたかね。