象が転んだ

たかがブロク、されどブロク

オッズと数学の密な関係〜天才数学者はギャンブルをも数値化する

2022年11月30日 14時19分22秒 | 数学のお話

 ワールドカップの楽しみは、母国が勝ったり負けたりて大騒ぎする事もあるが、4年に1度のめでたいギャンブルとして眺めても楽しいもんだ。
 勿論、ピッチ外で起きた深刻な問題や様々な課題を除いて、という条件付きではあるが。

 基本的にギャンブルはしない私だが、大会前と大会が始まった後では大きくオッズ(掛け率)が変わるのを眺めてるだけでも色々と興味深い。
 というのも、オッズという数字(賭け率)には当たり外れはあるが、数学が弾き出す確率は嘘をつかないからだ(多分)。
 そこで今日はオッズと数学とギャンブルの密な関係についてです。


想定内の番狂わせ

 日本がドイツに勝った時、殆どのメディアは”番狂わせ”と報じた。
 事実、試合前のオッズは、ドイツの1.44倍に対し日本は7倍。ここで少し?ややこしいのはオッズの計算だ。
 1.44倍なら単純計算では、ドイツが負ける確率は1−(1/1.44)=30.5%となるが、日本が勝つ確率は1/7=14.28%となる。よく考えるとサッカーには引分けがあるから、両者はイコールにはならない。
 そこで私は少しこのオッズを弄って、1.44/(1.44+7)=17%として日本の勝率を再計算した。つまり、引分けを(大雑把にだが)加味しても17%前後の勝率が保証される。
 故に、この17%を番狂わせと呼べるのだろうか?
 因みに、村田がゴロフキンに勝つ確率は(オッズから見れば)30%弱程だったが、私には村田がゴロフキンに勝つ確率はよりゼロに近い30%に思えた。日本だからあれだけ健闘できたが、敵地ラスベガスだったら簡単に倒されてたかもしれない。
 つまり、日本開催という事で勝率(オッズ)が30%に跳ね上がったとも言える。事実、1対9というオッズも多く存在した。

 一方で、ドイツとの試合では地元カタールの大声援をバックにしてか、いや長友という老害を排除し、3バックという攻撃的システムに変えた事で、一気に(僅か17%の)勝率が上がったと言えなくもない。
 しかし、前半終了間際に2点目になる筈のゴールがオフサイドと判定され、試合の流れは日本に傾きつつあったとも言える。あのゴールが決まってれば、ドイツの勝率は83%(1-0.17)から100%近くにまで一気に跳ね上がってたであろう。
 つまり、確率というのは「モンティのパラドクス」でも書いた”事後確率”の積み重ねであり、非常に流動的で不安定なものでもある。

 それでもドイツは1点リードしてたから、余裕はあった筈だ。故に、83%の勝率は不動に思えた事だろう。しかし後半早々、日本が若さを活かしたスピーディーな攻撃を仕掛けた事で、ドイツの勝率がゆらぎ始めた。
 後半、日本が同点に追いついた時点での勝率は(村田がゴロフキンに勝つ確率の)30%を超えてたであろうか。ここまでくればイケイケである。スタジアム内の大声援もあってか、私には五分五分の丁半賭博に思えた。つまり、どっちが勝ってもおかしくはない。
 そんな中で、2点目をドイツではなく日本が決めただけの事である。
 こうして”事後確率”の視点で見ると、日本の勝利が単に番狂わせで説明できない事が理解できる。事後確率という浮気症の女神は、日本とドイツの間をずっと揺れ動き続けてたのである。


想定内の敗北

 これと全く同じ事がコスタリカ戦でも起きた。日本がまさかの敗戦を喫した時、多くのメディアは日本を責めた。
 勿論、ドイツ戦での勝利で浮かれて所はあった。
 オッズで見れば、日本の1.8倍に対し、コスタリカの8倍。私流の計算では、日本がドイツに勝つ確率の17%よりも、コスタリカが日本に勝つ確率が18.3%(=1.8/(1.8+8)と僅かに高い。つまり、岡田さんの”想定内”発言は当然とも言える。
 一方で、ドイツ戦の勝利で浮かれた日本とスペイン戦での大敗で後がなかったコスタリカでは(条件付き確率で言えば)五分五分と言えなくもなかった。因みに世界ランクでは24位と31位の差はあるものの、殆ど誤差と言ってもいい。
 それでも、前半からスピードを活かして積極的に攻め込んでれば、81.7%(1−0.183)の事前の勝率通りに、コスタリカの防御壁を突破できたであろうか。
 しかし現実は、(長友を先発させた)前半のモタモタ感がコスタリカの僅か18.3%の勝率を跳ね上げたとも言える。
 浮かれながらも”勝ちたい勝ちたい”の日本と、1点でも与えたら”全てが終る”コスタリカでは条件付き確率は大きく変わってくる。
 つまり、コスタリカは守りを徹底したが故に、負ける確率は大幅に減り、逆に日本の焦りを生み、日本の勝率は大きく落ち込んだ。勿論、細かな采配ミスや不運もあったが、全ては微々たるレベルの結果論である。

 こうして確率論的に見れば、勝負と賭け事はオッズを基準として数学通りに運ぶ(多分)。
 コスタリカが勝っても当然な出来事でもあり、メディアが日本をパッシングする程のものでもない。つまり、確率と数学は嘘をつかないのだ(多分)。

 大会前の日本のグループ突破の確率は34%とされていた。ドイツに勝利した後は75%までに上昇し、コスタリカに破れ、29%に下落。更にスペインがドイツに引分けた事で20%まで下がった。
 もしスペインが(引き分け狙いでなく)本気でやれば確率は0%近くにまで下がる。
 34%→75%→29%→20%→0と乱高下する確率だが、日本がスペインに勝つ確率は20%とゼロの間を彷徨い続けていると考えていい。
 コスタリカに破れた事は森保監督にとっては想定外だった筈だが、スペインが日本に敗れるというのは、どんなメディアも”番狂わせ以外にはない”と断言するだろう。

 因みに、bet364社によるオッズ(11/24)は、スペインの1.40に対し日本の9倍(引き分けは4.33)で、私的計算だと日本の勝率は13.4%となる。また、グループ突破オッズも日本は4.33(23%)、スペインの1.01でドイツは1.25、コスタリカは13.00。
 一方、WINNERのオッズ(12/22時点)では、日本の勝利予想は28%で、日本の0-2敗戦が1番人気で4.8倍となっている。

 しかしもの(と数学と確率)は見ようだが、勝率が13%を超えるのなら、番狂わせがなくとも最低限の期待はデキそうだ。少なくとも絶望という領域でもない。
 日本に賭けてガッポリと稼ごうぜっていうギャンブル狂もいるだろう。
 そうした輩も味方につけて戦いたいもんだ。 


今更聞けない、オッズとは?

 冒頭ではオッズを”掛け率”と書いたが、(当たった場合の配当を賭け金に対する倍率で表したもので)正確には配当率”(払い戻し倍率)の事である。
 このオッズに対し、エッジ(期待値)という言葉があるが、ギャンブルに関してはこっちの方がより重要とされる。
 まず初めに、オッズの基本の基から紹介です。

 ある事象の起こる確率pと起こらない確率1−pとの比で、p/(1−p)の事をOddsという。
 因みに、Oddsと確率pとの間には、p=Odds/1+Oddsとの関係式が成り立つ。
 例えば、5回に1回の確率で起きる(勝つ)事象をオッズで数学的に表記すると、0.2/(1−0.2)=0.25となる。また、その時の確率(勝率)pは0.25/(1+0.25)=0.2となりますね。この時、Odds≠勝率pに注意です。
 因みに、日本の公営ギャンブルでは、1を賭けて(元手を含め)5倍になって戻る事から、オッズの事を”掛け率”(払い戻し倍率)5倍と表現する。つまり、オッズを5倍とする事で、勝率を1/5=0.2と簡単に計算できる事から採用されている(多分)。
 欧米でもオッズの表記法には、4:1や4/1(失敗数と成功数)、5.0や5-1(元手を加えた掛け率表示)などがある(ウィキより)。
 つまり、数学で厳密に言えばオッズと勝率は異なるが、ギャンブルで見ればオッズは勝率と言えますね。

 次に、エッジ(期待値)ですが、「数学はギャンブルを超えた(その2)」でも紹介した”ケリー基準”では”優位性”という意味もある。
 実はオッズよりもエッジの方が重要で、予測(計算)するのもずっと難しい。
 つまり、勝ってるからとて(主観に囚われ)我を見失うと正確なエッジ(優位性)を予測する事が難しくなり、破綻する。コスタリカ戦での日本や日本戦でのドイツと同じである。オッズという単純な確率だけで勝負するとバカを見るの典型でしたね。

 ”ケリー基準”とは(簡単に言えば)、ギャンブル(投資)におけるリターンとリスクの比率を数学的に計算し、最適な掛け金で資金を最大に増やす方法の事です。
 ケリーの”掛け金方程式”では、”最適投資率=エッジ/オッズ”という単純な式で与えられます。が、実際(1956年に)ジョン・ケリーが考案した公式は、”{(勝率)×(オッズ+1)–1}/(オッズ)”という複雑なものでした。後に、誰でも使える様にエッジという概念を導入し、簡略化されます。

 エッジ(期待値)とは、実際にはブックメーカーが弾き出すオッズ(配当率)よりも”有利”に保持する(と思う)アドバンテージです。
 このエッジは、(結果に応じた収益と確率を掛けた)期待値として弾き出すが、正確に把握する事は困難とされる。

 例えば、勝率が50%の公平なオッズの結果が2の場合、エッジはリターンからリスクを引いた”2×50%−1×50%=0.5”と簡単に計算出来る。
 故に、最適投資額=エッジ/オッズ=0.5/2=0.25となり、最初は持ち金の1/4を注ぎ込めとなる。
 つまり、勝率5割の超単純な丁半賭博でも用心深くベッドする必要がある。五分五分だからとて、直感的には(一か八かで)全部突っ込みそうになるが、高い確率で破綻する。 
 因みに、勝率を55%に上げると期待値は65%に上り、投資率は32.5%になる。つまり、勝率が5%増えれば期待値は10%に、投資率は7.5%上がる計算になる。


最後に〜ケリーのギャンブル方程式

 勿論、ブックメーカーによってもオッズは異なるし、人やゲームによっても勝率やエッジの見方は異なる。
 故に、”リターンが最大になる様に(注意深く)リスクをとる”のがケリー基準の肝なのである。
 ギャンブルで破綻する人の殆どは”賭け過ぎ”が大きな原因であるとされるが、ワールドカップでも大失態を演じるチームはこれに当てはまるとも言える。
 逆を言えば、番狂わせを演じる為には、”慎重に賢くリスクを取る”のが必要だと言える。逆に、(当然だが)大胆に無謀にリスクを取ればリターンはゼロになる。
 日本はスペイン戦ではどんなリスクを取るのだろうか?そのリスクのとり方次第では、オッズ(掛け率)は低くともエッジ(期待値)は高くなり、その期待は優位に変わり、僅かな確率でも勝利に一歩近づく。

 計算上はそうなるのだが、数字と現実はそう単純ではない。しかしオッズという賭け率に囚われる事なく、エッジという期待に胸を膨らませる事なく、リターンとリスクを冷静に分析・考察したケリーは、ギャンブルを単なる確率としてではなくアルゴリズムとして定義した。
 最後に、上で説明した”ケリーの公式”では、(n回目の)資産の期待成長率の幾何平均の対数をとり、大数の法則を使い、成長率の2次導関数導き、掛け金の最適比率を弾き出すんですが。ケリーの”ベルヌーイ試行”のややこしい計算の結果が、シンプルな公式に帰着するのも奇跡に近い。
 そう、数学は常に冷静で慎重で、かつ美しく素晴らしいのだ。



10 コメント

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ケリー博士の負けない方程式 (tomas)
2022-11-30 21:53:18
不発弾から芯を抜くような慎重さが求められるんでしょうか。
ケリー博士を持ってしても
日本がスペインを負かすなんてほぼゼロ%と思うんですが
どんな展開を予想されますか。
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tomasさん (象が転んだ)
2022-12-01 01:18:19
絶望に近い状況には変わりないんですが
若い選手にとっては千載一遇のチャンスであって、エッジ(期待値)と見るべきですね。
勿論、それを優位に変えるにはスキルや勇気だけでなく、知力も運も必要ですが。

ズバリ、スペインの2-0が一番人気なら、日本の2-0で万馬券を狙いますか(冗談)・・・
ともかく、試合直前でオッズがどれだけ変わってるかにもよりますが、世界が注目する展開にして欲しいですね。
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いよいよスペイン戦 (tomas)
2022-12-02 03:47:02
勝てば文句なしに決勝T進出ですが、引き分けならば条件付きとなり、負ければ即敗退。
8時間前のオッズでは日本の勝利が31%で引分けが17%、敗けは52%。
20%から少し上がってますが、スペインは負けない限り決勝T決定なので、無理はしないんでしょう。でも殆どは2-0でスペイン勝利と疑わない。
どの時間帯でリスクを取るかにもよりますが、どんなメンバーでどのカードでリスクを取るかにもよりますね。
言われる通り、様々なリスクのとり方があるはずですが、スペインの出方次第でリスクのとり方も変わってくると思いますが
転んだサンはどー思われます? 
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tomasさん (象が転んだ)
2022-12-02 04:58:13
tomasさん

リスクのとり方にもよりますが
前半を見る限りは、リターンもエッジも殆どゼロに近いと思います。
引き分け狙いのスペインだとしても、勝利するのは不可能に近い。
何度も指摘するようですが、長友が先発という事は前半は様子見で、後半にリスクを取って勝負という事でしょうか。
でも、思った以上に力の差は歴然としてますね。

ただ、ラフなデフェンスもあってか、1失点で終えた事自体が奇跡ですが・・・
少なくとも、後半はリスクを2度取る必要がでてきましたね。
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リスクの排除 (tomas)
2022-12-02 15:43:09
今朝のスペイン戦は
転んだサンが指摘した慎重なリスクの選択というよりも、徹底したリスクの回避による勝利に思えました。
それに日本の若さとスピードがそのままリターンに繋がった。
後半早々の5分間で2得点と奇襲に近い攻撃で主導権を奪い去ると、その後は鉄壁の守りで逃げ切りました。
でも転んだサンの冗談半分で予想された2-0が的中しそうな勢いでしたね。

ドイツ戦もコスタリカ戦も想定内でしたが、スペイン戦は想定外でした。
全てはオッズと結果がかけ離れた形となりましたが、ガチ勝負の決勝トーナメントではオッズ通りの結果になるんでしょうか。
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tomasさん (象が転んだ)
2022-12-02 17:50:45
スペインは僅か5分の2失点で
パニックに陥り、冷静さを失ったせいか,その後も日本の必死の守備に得点を阻まれました。
前半を1-0で折り返した時は全くのオッズ通りでしたが、後半早々の日本の神憑りの加速に、オッズも確率論もケリー基準も何処かに吹っ飛んじゃいましたね(笑)。

しかし、エッジ(期待値)という点では、同点に追いついた堂安のシュートは大きな要素になったし、すぐさま”優位性”に結びつき、逆転を導きました。
この時点で日本への最適投資額(ケリー基準)は最高潮に達した筈ですが、その後は言われる通り、慎重な守りでリスクを1つ1つ排除しました。まるで、ご指摘通り不発弾から芯を抜く様にですね。
ただ、後半早々の2得点は(スペインの油断が故に目立たなかったんですが)奇襲というリスクとも言えます。

クロアチア戦のオッズがどの様になるのか?今から楽しみです。
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オッズとは (paulkuroneko)
2022-12-03 01:26:42
元々は勝ち負けの比率の事で勝率をpとすれば、Odds=p/(1-p)となり、ギャンブルで言う賭け率(配当率≒1/p)とは微妙に異なります。
とは言っても、両者は明らかに1対1で対応し、勝ち負けの比率が近付けば、勝率は1/2に近づき、Oddsは1に配当率は2に近づきます。勿論、勝率が1に近づけば配当率は1にOddsは無限大に、また勝率が0に近づけば配当率は無限大にOddsは0に近づきます。
そこで、Oddsを縦軸に勝率pを横軸にしてグラフにすれば、双曲線よりも指数関数に近い曲線になってますね。

蛇足ですが、Oddsの対数をとった関数をロジット関数と呼び、統計学や確率論で多く使われます。このモデルでベルヌーイ試行を繰り返し、2次曲線から最適な掛け金率を予測します。
勿論、オッズには公平な配当というのが前提で、そんな中で勝率の大方の目安となるのが様々なデータや主観による支持率や人気率です。オッズがギャンブルでは概算掛け率と呼ばれるのも、そういう所から来てるのかもしれません。
ただ表面上の人気や支持に煽られ、大多数と同じ条件で賭け事をすれば、必ず(長期スパンでは)負けるというのもケリー基準の意外性かもですね。 
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paulさん (象が転んだ)
2022-12-03 13:06:39
いつもいつもコメントとても勉強になります。

ただオッズと言っても絶対ではなく、概算なんですよね。
逆数を取れば勝率に近づき、結果的に配当率となる。勿論、オッズにはブックメーカー側の思い込みや支持や主観などが入る為に、ある程度の賭けの目安であり、絶対視する事もないんですが・・・
最近は高度に計算されてるから無視できない。たかがオッズ、されどオッズって所ですかね。
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リスクとリターン (腹打て)
2022-12-03 14:47:20
ケリー基準では、リスクにはリターンを増大させる最適範囲があり、それをベルヌーイ試行を繰り返す事で弾き出し、それをおよそレバレッジ(借金によるリターン向上)2倍と見積もった。つまり、多くの投資家は過剰リスクに曝されている。リーマンショックに代表される昨今の暴落現象もこうした過剰リスクテイクの帰結とも言える。

確かに、オッズは馬券を購入する事で作り上げられるけど、様々な情報やデータ等が絡んでくるから、当然だが人気の馬に支持が集まり、心が傾く。
つまり、リスクやリターンに関しては客観的である事やオッズに浮かれない慎重さを持ち、無駄にリスクテイクしない事が重要だろうね。
でもそうは言っても、ギャンブルには必ず大衆心理が働く。
胴元から見れば、大衆は確実に負けるように出来てんだよな。だから必勝本なんかのペテンが売れまくる。
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腹打てサン (象が転んだ)
2022-12-03 18:27:08
結局は
調子に乗って賭けすぎるなって事なんでしょうが・・・
一度美味しい思いをすると、その栄光?に縋りたいんですよね。
つまり、奇跡や番狂わせに近い事が起きたからとて、確率的には起きて当然の結果であり、客観的であれとはそういう事なんでしょうか。
つまり、賭け事も勝負も連敗しない事が肝心で、それだけでも良しとスべきなんでしょうね。

レバレッジのリスクと甘い罠、とても勉強になりました。
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