リーマンのゼータ関数がセルバーグのゼータ関数に置き換わる時､リーマン予想は解決する。
”数学の夢”という本を紹介したブログ(お題)で､リーマン予想が解けないのは､第三の解説接続の公式(リーマンジーゲル公式)に少し誤差があるのでは？と､生意気な事を言ったら､早速ブログ友からコメントが届いた。
リーマン予想を解決する道標として､ゼルバーグゼータ関数が注目されてるとあった。勿論､セルバーグという名前もセルバーグゼータという関数も知ってたが､所詮私には難しすぎて､背中を向けてたというのが正直な所で(笑)。アトル•セルバーグに関しては､イラストの紹介も参考です。
paulさんのコメントを借りれば､このセルバーグゼータ関数とは､”リーマン面”上のゼータ関数の事で､素数や整数などとは無関係に､幾何学上で定義されるゼータ関数ですと。
因みに､この”リーマン面”とは､多価関数(1つの値に対し解が2つ以上)を一価関数(1つの値に解が1つ)として扱う為､複素平面上の定義域にて､その多価の数だけ各葉毎に分けて､螺旋階段を切り貼りし繋げる様にして考える事です。”リーマン10”を参照です。
つまり､素数の代わりに素数の類似物をリーマン面上に見出すと。具体的には､リーマン面上の素な閉測地線を”素測地線”と呼び､素数の代わりとするんです。
この”測地線”ですが､局地的に距離が最小となる”閉じた”曲線の事なんですが。つまり､空間を最短距離で進む光の軌跡だと思って下さい(”アインシュタイン”ブログ参照です)。
そこで､リーマン面ではリーマン計量(角度と長さ)が決まり､距離が定義できるので､前述した”素測地線”が素数の代わりとなるんですかね。
因みに､リーマン面とリーマン計量の関係ですが。”リーマン多様体”とは､リーマン面を平面上で表現する為､単に角度や長さを定める”リーマン計量”に依存する様にしたもので､リーマン面を多様体と呼ばれる高次元空間に拡張したものです。イメージとしては､地球儀の地図を1枚の紙の上で表すようなものですね。これも”リーマン10”参照です。
この素数の代わりとなる”素の測地線”とは､リーマン多様体では一周のものを言い､螺旋階段で例えれば1階に相当する部分かな。2周では素数の2乗とみなします。
故に､リーマンゼータ関数は”素数に渡るオイラー積”だから､”素測地線に渡るオイラー積”がゼルバーグゼータ関数という訳で。お分かりですかな。
つまり､素な測地線という幾何学的な図形を数値化したものをオイラー積に埋め込むんですが。素数の大きさの代わり､素測地線のノルム(自然対数eの長さ乗)を代入して作ったオイラー積を､セルバーグゼータ関数と定義します。素測地線pの長さをl(p)とすると､ノルムはe^l(p)ですね。
但し､この素測地線は閉測地線全体を渡りますが。セルバーグゼータ関数ζM(s)は､任意のリーマン面Mの曲率が負の時のみ定義されます。
もし､リーマン面Mが球面の時､測地線は大円となり､測地線の集合は大円全体となり､閉測地線になります。故に､閉測地線全体を渡る素測地線は非加算無限個存在し､オイラー積が成り立たなくなると。
輪ゴムを測地線に例えると､球面に輪ゴムを掛け固定するには､球面が大円の時に限るもんね。この無数の輪ゴム群が閉測地線ですね。
しかし､曲率が負に限定されるリーマン面では､閉測地線は無数に存在し､加算無限である事は自明です。故に､素数の時と同様に､素測地線でもオイラー積が定義できるんです。
すると､このオイラー積の収束性も証明でき､リーマン面M上の点をxとすると､このセルバーグゼータ関数ζM(x)が､何とリーマン予想を満たすと。ケッケッケ。
実際に､ζM(x)の虚零点の実部が､有限個の実零点を除き､全て−1/2である事が証明されてマス。ただ､ζM(x)では虚零点(非自明零点)だけでなく､非自明極(虚極)も無数に存在し､それらの実部は有限個の実数の例外を除き､1/2となってる事も。
つまり､極を位数が負の零点とみなし､零点と極を零点とみなせば､リーマン予想は”全ての非自明零点の実部が半整数である”と表現できますね。
半整数とは､整数が1/2の形をしてる有理数の事で､全ての整数は半整数でもあります。故にリーマンゼータ関数は､半整数のうち1/2だけが顔を出してたと云えますね。
リーマンゼータの極(s=1)が−1位の零点と見れば､これも半整数なので､極も含めてリーマン予想とみなせる訳です。故に､1/2でも−1/2でもリーマン予想には変わりないと。
しかし上述した様に､このセルバーグゼータ関数には､有限個の実数を除くという条件がつきますが。完備ゼータ関数では､自明な零点(実零点)は省くので､この例外は関係ないんですね。
つまり､リーマンゼータ関数がセルバーグゼータ関数に属する事が判れば､リーマン予想は完全証明される訳ですな。何だか上手く行き過ぎのような気も(笑)。
もう一つ､セルバーグゼータ関数がリーマン予想を満たす条件として､”セルバーグの跡公式”というのがあります。
ここでセルバーグの主定理の登場です。これは､”リーマン面M上の積分作用素の固有値は､M上のラプラシアンの固有値の関数として表される”というもので､”ラプラシアンの固有値に渡る和”と表されます。これこそが”セルバーグの跡公式”なんです。勿論詳しい説明は省きます(悲)。
セルバーグの跡公式には､”固有値の和”と”対角成分の和(対角積分)”という2通りの表示があり､特に”固有値の和”の方は､”ラプラシアンの固有値に渡る和”なので､これをセルバーグ変換し､セルバーグゼータの対数微分表示を得ます。これは対数をとる過程で､積が和になりますね。
故に､”ラプラシアンの固有値に渡る和”は､ゼータ関数の式で言えば､”ラプラシアンの固有値に渡る積”に相当するんです。
このセルバーグゼータ関数の二次方程式を解くと。√の中身が正の時､このゼータ関数の零点の実部が−1/2に､極の実部が1/2になる。共に半整数により､リーマン予想が成り立つと。
逆に√の中身が負の時､それを満たす固有値は有限個なので､有限個の例外を除けばリーマン予想が証明されると。
それに例外に関しては､√部が純虚数になるので､零点や実部は実数になる。故に例外零点は必ず実数になるので､セルバーグゼータ関数はリーマン予想を満たすという事ですね。
”素数を離れ､幾何学的な曲面から出発し､数論が目指す究極な結論と同じ形に到達したのは､興味深い”と小山博士も語っておられます。
ただ､セルバーグゼータ関数がリーマンゼータ関数になる様なリーマン面Mはまだ見つかっていないが､これまでに考えられてないリーマン面を精査していけば､リーマン予想が解ける可能性があるとも。
因みに､リーマン面やリーマン多様体の定義は､”リーマン10”でも述べてますが。リーマン面とリーマン多様体の概念が､オイラー積に結びつき､素数に代わり､素測地線が可算無限個であるより､素数の時と同様にオイラー積が定義され､リーマン面のゼータ関数になり得たのですかね。
リーマン予想の鍵がリーマン面やリーマン多様体に結びついてるとは､面白いですね。
ただ､通常のリーマン面やその高次元化である有限次元のリーマン多様体では不可能で､簡単に解けるものではないとありますが。従来の研究の様に袋小路に入ってる訳でもなく､限界がある訳でもないと。
つまり､このセルバーグゼータにこそ､リーマン予想解決の広大な視界が開けてるとされてます。
でも､セルバーグゼータ関数がリーマンゼータ関数になる様な多様体Mを発見できれば､それは数論の全てを知りうる”究極の多様体”という事でしょうか。つまり､リーマン予想とは､”究極の多様体を探す旅”であると。
以上､paulさんのコメントと､”リーマン教授にインタビュー”を参考にしましたが。こういうのをテーマにした甲斐があったと言うもんです。
これからも”リーマンの謎”の旅を続けますんで､宜しくです。
セルバーグのスペクトル理論は、現代数学においてある種の革命ですかね。
数学には、こうしたある日突然現れる超天才の存在が不可欠です。セルバーグのゼータ関数がリーマンゼータになるような多様体は見つかってません。
でもひょっとしたら、リーマンゼータ関数がセルバーグのゼータ関数にとって代わる日が来るかもしれません。
素数という一次元上の概念から、幾何学というN次元の概念へとシフトして、ゼータ関数を眺める辺りのセルバーグの洞察力には頭が下がります。
paulさんの言う様に､リーマンゼータがセルバーグのゼータ関数に変わる日が来ると思うだけで､何だかワクワクしますが。その道のりもきっと険しいもんでしょうね。
リーマンゼータ関数からセルバーグゼータ関数に置き換わるとき、ですか。
何だかロマンチックな言葉で、痺れます。
ゼータ関数もオイラーからリーマンを経て確立し、セルバーグへ向かい大きく変革を起こすだろうでいいんですかね。
素数の謎から多様体の謎への移行と。一次元の謎からN次元の謎へと。
詩人みたいなコメントで､何だか嬉しいです。
数学者は詩人みたいな美学が必要なんでしょうか。セルバーグの跡公式は非常に美しい形をしてますもんね。
セルバーグがリーマンに取って代わる日が来るんでしょうか。そして､その時がリーマン予想が証明された時でしょうね。