複素数体のガロア理論(前半)〜エヴァリスト･ガロアを巡る旅､その１３

　｢天才ガロアの発想力｣(小島寛之著)を紹介し､第8話目になりますが。
　方程式の解法の歴史(その6)とガロア理論に繋がる歴史(その7)をまず述べ､次に2次方程式のガロア理論(その8とその9)と3次方程式のガロア理論(その10からその12)で述べました。
　以前､｢方程式のガロア群｣(金重明著)の紹介では3次方程式の所で躓き､”その5”で長く放ったらかしにしてました。
　代数と群を結びつけるというのは非常に抽象的な行為です。故に､色んな本を読み漁り､多方向から眺めるというのも理解する1つの近道かもです。　

　少し間が開きましたが､前回”その12”ではガロア理論の大きな要である”正規部分群”について述べました。
　そいて今日は､群の話からいったん離れ､複素数の話題です。
　というのも､虚数という負の平方根の発見こそが､方程式の解法の発見に欠かせないものだからです。
　この虚数を全て含むような体を複素数と呼ぶんですが。2次方程式の時代はこうした虚数解(虚根)を”解なし”として済ませてきましたが､3次方程式の解を表記する上では無視できないものとなりました。

負の平方根(虚根)を巡る長い長い歴史

　”その6”でも述べた様に､元々､2次方程式は古くは紀元前1600年頃のバビロニアの粘土板にも書かれてあった様に､古代の数学者たちは正の解だけを解と認め､負の解を排除した為に､統一した扱いが出来ませんでした。
　負の数を認めたのは､7世紀のインドの数学者プラマグプタでした。彼は”正の数を正で割っても､負の数を負で割っても正である。しかし､正の数を負で割っても､負の数を正で割っても負である”と書いてます。
　この負の数を認めたインド数学を積極的に取り入れたのが､イスラム世界です。
　9世紀のアル･フワーリズミーは､負数を解と認めていなかったのですが､負の解を導入すれば2次方程式の解の公式が統一できる事には気づいてたらしい。

　しかし負の平方根は､例えば”−1の平方根”はずっと長い間認められなかった。
　正数の2乗は正数で､ゼロの平方はゼロで､負数の2乗も正だから､負の存在を認めたからとて､2乗して負になる数は認められませんでした。事実､12世紀のインドの数学者バスカラは”負数の平方根はない。負の数は平方ではないからだ”と書いている。
　故に､2次方程式の解法を手に入れても､負の平方根の発見には繋がらなかったという事です。
　例えばx²+1=0の解は､”−1の平方根”を求める事です。しかし､そんなxは正数にも負数にも存在しないのだから､”解なし”とするしかない。逆を言えば､解なしとすればそれだけで済む事でした。故に､2次方程式の解法にいくら熟達しても､”負数の平方根”を考えるきっかけにはならなかったんですね。

3次方程式がタブーを突破した

　しかしこの負の平方根を認める必要に至ったのは､3次方程式の研究からでした。
　この3次方程式はイスラムの数学者らも熱心に研究しますが､統一的な解法には至りません。舞台はヨーロッパに移り､16世紀に入ると､”その7”で述べた様に､フォンタナという大天才が3次方程式の解法(公式)を発見します。しかし､当時の数学者たちは奇妙な現象にぶつかった。
　”ある3次方程式では解が実数にも関わらず､それを表記しようとすると負数の平方根は避けられない”というものでした。

　例えば､x³−6x+2=0ですが。左辺にx=−3を入れると−7で負になるが､−2を入れると+6になり､正負が逆転。故に､xが−3から−2に向えば､左辺の値は途中で0になる筈です。
　同様に計算すれば､0と1の間と2と3の間にも解がある筈。図で描けば明らかですが､実数直線上(x軸)に3つの解を持ってますね。
　しかし､フォンタナの公式(”その7”参照)で解けば､結果から言えば､解の1つはα=−³√(1+√(−7))−³√(1−√(−7))と得体のしれない数となります。但し､³√は立方根です。
　そこで当時の数学者たちは､√(−7)という負数の平方根を何とか消して､実数の形で表そうと努力しますが。当然､敵う訳がない(悲)。
　このαの表記から負数の平方根を除くのは原理的に不可能である事が､ずっと後になって証明されます。そして､これがなぜ不可能なのかは､ガロアの定理から本質的に解明される事となります。

　この様に､3次方程式の解を表記する上で､負の平方根は避けられない事が判りました。
　そこで数学者は負の平方根を無視する訳にもいかず､負数の平方根を”虚数”と名付け､その虚数を全て含む様な体を”複素数”と名付けます。
　これも抽象的で判り辛いですが､大まかな歴史の流れだけは掴んどいて下さい。
　2万年以上の桁外れの長い歴史を持つ数学という学問は､大きく堅い謎の塊を歴史を1つ1つ紐どきながら砕いていく様な地道な作業の積み重ねです。日本の推理小説の様に､複雑なだけで単純じゃないんですね。

虚数から体を作る

　上述した様に､x²+1=0の解は実数ではなく､数直線上には存在しない。しかし､解となる2つの虚数(x=±√(−1))という”お化け”に､(どちらかを基準に)何か名前をつける必要がある。
　因みに､実数には四則演算が出来るという他に､”大きさ”という別の性質がある。しかし､x²+1=0の解は実数ではないので､代数的性質しか持たない。
　つまり､この2つの解は代数的には瓜2つで全く区別がつかない。しかし､この”双子の虚数解こそが方程式が何故解けるか？”に対するガロアが与えた解答と大きく繋ります。　
　どんな方程式でも､その解(虚数解)というのは”代数的には”区別がつかない。この事が体の自己同型として現れ､対称性の源となるからです。

　結局､当時の数学者たちは､x²+1=0の2つ解のうち､どちらか一方を”虚数単位”と呼び､記号”i”で表す事にしました。
　因みに､iとは空想上(imaginary)の頭文字で､当時は虚数を空想上の数字と見下してたんですね。
　ここで､x²+1=0の解の片方をiとすると､i²+1=0となり､x²+1=0とi²+1=0を引き算すれば､x²−i²=(x+i)(x−i)=0。故に､x²+1=0の解のもう片方は−iとなります。
　しかし､この2つの解±iは､私たちには全く見分けがつかない。

　そこで､この虚数(単位)iから体を作ってみます。
　”その8”では､有理数Qに√2を加えた体Q(√2)を作りました。体とは四則演算ができる事でしたから､Qに√2を加え四則計算を延々と行い､新しい数ができなくなるまで飽和させた集合がQ(√2)でしたね。
　結果､Q(√2)は”有理数+有理数√2”と形の数の集合で､四則演算に関して閉じた集合でした。
　これと同じ手続きを虚数iに対して行うんですが､Q(√2)とは異なり､実数Rにiを加え､拡張します。
　すると､R(i)は”(実数)+(実数)i”という数の集合で飽和し､この様な数を複素数と呼び､この様な体を複素数体と呼びます。
　

複素数体の理想郷〜方程式はなぜ解ける？

　実は､この複素数体R(i)こそが見事な世界を生み出すんです。
　つまり､負数の平方根は全てこのR(i)の中に含まれてますね。虚数という”お化け”はiだけを導入すれば､全て作ってくれる。
　例えば､√(−7)はx²+7=0の1つの解で､R(i)の中に全ての解を持つ。
　x²+7=x²−7(−1)=x²−7i²=(x−√7i)(x+√7i)=0より､解はR(i)の中の√7iと−√7iになる。故に､−7の平方根は±√7iと定義できます。
　同じ様にして､全ての負数の平方根を作る事が出来､必ず複素数体R(i)の中に2つの解がある事が判る。

　実は､2次方程式だけでなく､どんなn次方程式でもR(i)の中に全ての解がある事が判っています。係数を複素数にしても､n次方程式は全ての解が複素数体の中に見つかるのです。
　これを証明したのが､ガロアが尊敬する”数学の巨人”ガウス(1777−1855､独)でした。
　このガウスのお陰で､”複素数は代数方程式について自己完結する”一種の理想郷だという事が判ったんです。この様な集合を”代数的閉体”と呼びます。
　しかし､このガウスの発見は一見すると､ガロアの定理と矛盾してる様にも見える。
　16世紀にフォンタナが3次方程式の解法を､フェラリが4次方程式の解法を発見し､以降は2つのテーマが問題になりました。
　1つは”高次方程式では複素数の解を避けられない筈だが､複素数を許すなら全ての解が保証されるのか？”と､2つ目は”複素数に解が存在するなら､その解を四則とべき根で求める解法は存在するのか？”でした。

　そこでガウスは第1の問題に対し､答えを出したんです。つまり､ガウスによって”どんな高次方程式も複素数の範囲なら解の全てが存在する”事が証明されました。
　で､次なる問題が､”ならばどうやって解を見つけるのか？”でした。そして､それを解いたのがガロアだったんですね。
　そのガロアの模範解答こそが､”5次以上の方程式には複素数解が存在するが､四則とルートで求める手続きはない”というものでした。
　勿論､”500年先を行く天才”アーベル(1802−1829)もガロアの6年ほど前に､未完全ながらこの事を証明しました。しかし､ガウスの逆鱗に触れ､アーベルの証明は無視されます。

　これを見ても､数学というのが如何に”継承の賜物”かであるかが伺えます。
　以上で､代数の立場から複素数(体)というものを多少は理解できましたかね。
　でも､複素数も群の様に､何らかの対称性はないのでしょうか？
　つまり､複素数の世界が図形で表現でき､四則演算でどうビジュアル化出来るのか？
　でないと､複素数を完全に理解するのは不可能です。
　次回は､複素数解が作る美しい図形と､"複素数体にべき根を加えた体"がどんな構造をしてるのか？を見てみたいと思います。