神様か？それともカントールか？(その４)〜無理数と数直線(連続体)のと深い謎

　前回(その3)では､”無限”の研究が当時世界の数学をリードしていたドイツに飛び火し､リーマンを始め､ワイエルシュトラスらの第一級の数学者の考察を呼び覚ましたところまで述べました。
　特にリーマンは､”球面上では直線は無限に伸びる筈がない”と見抜いてました。つまり､2次元では無限なものが3次元となると無限でなくなる。お陰で､曲面上の距離(軽量)に注目し､無限に連なる無理数を一般化させ､複雑な空間(曲面)でも使える様にした。
　また､球に無限遠点を加える事で､平面上の無限個の点の集合を収束させる。
　お陰で､無限と収束の考察が進み､ワイエルシュトラスは関数の列(級数)に注目し､関数の連続性と”収束列”の概念を発展させた。お陰で､”有理数の極限が無理数に向かう”という大きな発見をする。

　一方で､こうした無限の考察を妨害する輩も現れる。ベルリン大学の黄金期を支えた偉大な数学者であるクロネッカーは､”有限以外は虚構である”と(無限を解析する)ワイエルシュトラスとカントールに事ある毎に対立した。
　こうした対立は､代数学者は物事を直感的&離散的(非連続的)に捉え､解析学者は視覚的&連続的に捉えようとする事から必然的に起きるものだ。
　クロネッカーは”数学で扱うべきは離散的な要素だけだ”と信じ､カントールは”無限の研究は神のお告げ”だと深い信仰心から言い放った。
　こうした対立を尻目に､無限の考察はやがて､整数や有理数などの離散的な数から実数などの連続する数を超えて､実数上を走る関数の連続性や不連続性にまで拡張されていく。
　勿論その主は､ゲオルク･カントール自身に他ならない。

　そこで今日は､カントールの生涯を中心に述べたいと思います。｢無限に魅入られた数学者たち｣をメインに出来るだけ簡潔にと思う程に長く重くなりますが､こればかりは悪しからずです。

無理数と数直線の密な関係と深い謎

　19世紀末､数学者たちは解析学の理論を(滑らかな)連続関数だけでなく(飛び飛びの)不連続関数にも応用し始めた。
　この異常な関数こそが､積分学の分野で極めて重要な役割を果たす事が解ってきた。

　積分というのは面積や体積などを求める解析学の一分野だが､不連続関数は積分を定義するのに使われる。
　一般に積分値を求める時､”収束”という概念が重要だが､今では”不連続関数が連続関数に収束する”事が解ってきた。例えば､階段関数を並べたものは連続関数に収束する。
　ガウスですら可能(可算)無限しか相手にしなかった。無限とは到達できない1つの理想であり､実体化する事のない数であったからだろうか。
　例えば､階段が多数あって細かくなれば､それら総面積は連続曲線のそれに近づき､面積の極限を求めるだけであれば､段の数を無限にする必要はなく､適当な有限個の段を用いるだけで高い精度での近似が可能となる。
　当時の数学者にとってはそれで十分であった。微積分という分野を創造したライピニッツとニュートンも可能無限という考えだけで､勿論､彼ら以前にもその先に進んだ者はいなかった。

　一方で(前回で述べた様に)､ワイエルシュトラスやリーマンらが活躍した時代､解析学のかなりの部分は無理数という概念を軸として展開する。しかし､無理数の本質を見抜くまでには至らなかった。
　幾何学における数と算術における数を関連付け､直線上の距離を実数として捉えようとすると魔法の様に姿を表すのが無理数である。
　しかし､無理数の概念に意味を持たせようと思えば､数直線上に無理数を乗せざるを得ない。事実､整数や有理数を数直線上に乗せるのは簡単だ。が､無理数を含む本当の”長さ”は数を数直線上に押し込んだだけでは生じない。　
　つまり､全ての整数や分数を押し込んでも､数直線には無数の数が詰め込まれてる筈だから､たかだか無数に穴の空いた目の粗い篩の様なものでしかないし､そこに線としての”実質”はない。
　故に､数直線に真の構造を与えるには無理数が必要なのだ。無理数なしには”線”は無数の点の集まりに過ぎず､繋がった線ではない。逆に数直線から全ての有理数を取り去っても直線そのものは少しも目減りしない。が､そうして得られた直線は無数の穴が空いている。

　つまり､数直線の構造は私達が思ってるよりもずっと謎に満ちている。
　かつて､ボルツァーノは連続体を纏め上げてるのは連結性だと考えた。しかしカントールが示した様に数直線上の数は(ボルツァーノが考えるよりも)遥かに複雑な構造を持ち､連結性はその特徴の1つに過ぎない。
　数直線にその実質を与えてるのは無理数である。一方､有理数は無理数の集合の中の”稠密”である。つまり､たった1つの無理数の周りには無数の有理数が群れをなす。その逆も真で､ある有理数に最も近い所には無数の無理数が存在する。
　この様に数直線の構造を直感でイメージするのはとても難しい。
　よって､数直線にその実質構造をを与えてるのは無理数であり､有理数ではない。これを証明するには”今いる部屋からは決して出られない”というゼノンのパラダクスに似た論証を行う必要があるが､このパラドクスでは無限級数の収束性が使われた。

　カントールによって(発見)証明されるが､有理数は無限に存在するが数える事はできる(可算無限)。一方で無理数は有理数よりも高次の無限である為に数える事すらできない(非可算無限)。更に､有理数と無理数は数直線上で果てしなく絡み合ってるが､有理数を全て取り去っても線の長さは変わらない。
　この事を数学的に”有理数全体の測度はゼロである”と呼ぶが､これもカントールが証明する。因みに､(ルベーグ)測度とは､集合全体の距離の事をいい､区間[0,1]の無理数(実数)の測度は1となる。
　つまり､無理数は有理数よりも無限に多く存在するのである。
　一方で､無理数はいくつものグループに分けられるが､√2の様な無理数はまだしも手に負える。この様な数は”代数的数”と呼び､(x²−2=0の様に)有理数を係数とする多項式の根になっている。しかしカントールは､代数的数の集合は有理数の集合と同じサイズを持つ事も証明する。確かに､有理数係数が一意的に決まれば解も一意的に決まるから､有理数と同じサイズの無限と言えますね。
　因みに､この代数的数でない数を”超越数”と呼ぶが､πやe(ネイビア数)などは超越数で極めつけの無理数なのだ。つまり､(多項式の根としてでなく)いかなる方法でも取り押さえる事の出来ない数える事さえもできない無理数なのである。一方で､殆どの複素数は超越数とされるが､多項式の根となる複素数は代数的数となる事に注意しよう。

　無理数と数直線の深い謎について少し詳しく書きましたが､無限の本質を理解する上ではとても重要な事ですね。
　こうした無理数の本質を見抜き､無限を可算無限と非可算無限に区分けしたカントールの偉業に関しては､後で詳しく述べる事にして､まずはカントールという人物について触れたいと思います。

ゲオルク･カントールの生涯

　カントールの父ゲオルク･ヴェルデマールはデンマークのコペンハーゲンの生まれで､敬虔なルター派プロテスタントだった。母マリア･ベームは著名な音楽家の家系でカトリックの出だった。両親ともにユダヤ人の家系とされる。
　ヴェルデマールはサンクトペテルブルクで卸売業カントール=カンパニーを起こして成功し､取引先はヨーロッパからアメリカやブラジルにまで広がった。長男のカントールが11歳の時に肺結核を患い､家族はドイツのフランクフルトに移り住んだが､ジメジメした風土が体に合わず､数年の内に他界する。
　資産家の父は自慢の天才息子に､”ロシアとドイツとデンマークにいる一族の目は全てお前に注がれている。神の思し召しがあればお前は輝ける星になる”と大きな期待を寄せていた。
　カントールが15歳の時､数学を専攻したいと父親に丁重に申し出る。父は数学だけでなく物理学や天文学も学んでほしいと希望した。スイスに移り住んだカントールは､チューリッヒ工科大学で数学の勉強を始め､まもなく名門ベルリン大学へと進む。そこにはワイエルシュトラスやクンマーやクロネッカーらベルリン大の黄金期を支えた超一流の数学者たちがいた。
　因みに､この頃(1863年)に最愛の父が他界し､長男だった彼は相当の遺産を受け取ったとされる。家族思いの彼は､後にこの遺産の一部で家族の為に豪奢な邸宅を建てた。

　そんな彼が最初に心を惹かれたのが数論だった。当時､師匠だったクロネッカーの熱心な指導の下で博士号を取得し､ハレ大学に私講師として招かれ､猛勉強の末に(早くも)翌年には教授職を得る(1869)。
　やがてカントールは､ワイエルシュトラスの解析学に大きな影響を受け､関数論に埋没していく。そして､ディリクレやリーマンさえもなし得なかった､”フーリエ級数の一意性(収束性)”を証明し､数学界にその名を轟かせた(1870)。僅か25歳で偉業をなし得たカントールだが､やがて(古代ギリシャの時代から研究されていた)可能無限の考察に傾斜していく。

　一方､ハレという片田舎の地で彼を待ち受けていたのは孤独であった。(ベルリンの)同じユダヤ人家系であるファリー･グートマンと結婚したが､学生時代に過ごしたベルリン大の教授に比べ給与は低く､慎ましい生活が続く。
　しかし､カントールが(ワイエルシュトラスから学んだ)ハレに持ち込んだアイデアは斬新で､無理数に対する本質を見事に捉えていた。
　このボルツァーノとワイエルシュトラスの手法の基礎には､それぞれ独自に発見した極限と集合の融和が存在する。つまり､”有界閉集合内の無限点列はその内部に集積点を持つ”。簡単に言えば､有限区間内の任意の無限点列は収束する。
　この二人がなし得た体系は､無理数が有利数列の極限として定義される。つまり､前述のゼノンの”距離”のパラダクスに似ている。
　このパラダクスは､まずドアとの距離の半分だけ進み､次に残りの半分だけ進むという行為を無限に続ける。つまり､毎回進む距離(有理数の数列)を､無限にまで続けた時の極限(無理数)である。
　例えば､1,14/10,141/100,1414/1000,...という"無限"に続く有理数の数列は､√2という無理数に収束する。　

二人の良き友人､レフラーとデデキント

　カントールはこの路線に沿って解析学を注意深く研究した。一方で､彼の孤独の研究を支えたのが､よき友人でもあり傑出した数学者でもあった3歳年下のミターク･レフラー(1848-1927)である。
　大富豪の令嬢と結婚してた彼は妻の実家の財力をもって､有望だが貧しい数学者たちを支援していた。勿論カントールもその一人だった。
　ノーベルと喧嘩して数学がノーベル賞から外される原因となったと噂されるレフラーだが､ハレに移り住んだ頃のカントールの初期の論文を次々と自ら刊行する数学誌に搭載し､彼の名を世界に知らしめたのだ。

　そのカントールにはもう一人､リヒャルト･デデキント(1831-1916)という14歳年上の良き友人がいた。彼もまたガウスの弟子で､ゲッチンゲン大ではリーマンを支えた良き後輩でもあった。
　カントールがレフラーの刊行紙を頼る様になったのは､ベルリンでクロネッカーとクンマーが彼の研究に異議を唱え､相手にしてもらえなくなったからだ。そのベルリンでカントールを評価してくれたのは､ワイエルシュトラスただ一人であった。二人は互いを高く評価しあい､その関係は生涯続いた。
　27歳のカントールが休暇でスイスを訪れた時､デデキントと出会い､すぐさま意気投合する。デデキントは工業学校の教師に過ぎなかったが､かつてガウスの指導の元で博士号をとった彼が数学になし得た最大の貢献は､無理数の定義で”デデキントの切断”というものである。
　これは､数直線をある数の所でスパっと切断し､その切り口よりも小さい全ての有理数とそれよりも大きい全ての有理数とに分けられるというもので､もし切り口が有理数でなければその切り口は無理数と定義できる。
　√2を例にとれば､その2乗が2よりも大きい全ての有理数と2乗が2よりも小さい全ての有理数とに数直線を切断できますね。

　つまり､デデキントの無理数の研究は無限に関する考察でもあった。故に､彼がカントールに味方するのも当然の成り行きである。
　二人は合う度にいつも活発な議論を酌み交わし､互いを理解し､尊敬しあっていた。が､二人には(出会ってから10年後の1882年から)17年間の断絶があった事はあまり知られてはいない。
　無理数と無限の考察に関して言えば､二人は先駆者であった。因みに､カントールは1874年(29歳)には”対角線論法”を駆使し､有理数は自然数と1対1(全単射)に対応させる事が可能(可算無限)である事を､更に実数ではそれが不可能(非可算無限)である事を証明しようと試みたが､不完全であったが故に､論文として公にする事はなかった。
　そんなカントールにしてみれば(クロネッカーらの攻撃により)ベルリンで夢が叶わぬのならば､せめてデデキントの様な数学者がハレの教授に加わり､協力してくれる事を強く望んだ。事実､ハレ大学に数学教授のポストが空いた時､カントールは真っ先に彼を指名した。があろう事か､デデキントは丁重に断ったのだ。
　理由は経済的なものだった。
　カントールは打ちのめされた。以来(17年間に渡り)両者は一通の手紙も交わさなかったのである。
　これこそがカントールを精神的に追い込んだ大きな先駆けとされる。しかし一方で､彼は数学界をひっくり返すかの様な集合論を生み出しつつあった。

　長くなり過ぎたので､今日はココマデです。
　次回は､カントールの集合論を中心に､少し突っ込んで述べたいと思います。