画像認証、組み合わせ問題

トップはあるサイトのログイン画面の一部をスクショしたもの。

ロボットなど、プログラムによるログインを防ぐためか画像認証が必要となっている。

これは別のサイトだが、ログイン時に同じように５文字の英数字を入れるようになっている



英数字なので英字２６＋数字１０＝３６種類のなかからランダムに選ばれた
５文字が表示されている。

同じ英数字が使われることもあるし、並び順も合ってなければ認証されない。
つまり、ａａａａ１と１ａａａａはまったくの別もの。

ではこのような５文字の並びは全部で何種類あるだろうか。
１つ目が３６通り、２つ目も３６通り、３つ目も・・・ということで、
全部で３６の５乗＝６０４６６１７６通り、およそ６００万通り。
数学的には重複順列になる。
式は

数字を使わず全部が英字の場合の並びは２６の５乗で１１８８１３７６と、
１９．６％、約１／５に減る。
式は

逆に言うと英数字の中から５つ選んでいるのに、全部英字だったケースは１／５。

本当にそうか？

実はそうではない。
６００万回も１２０万回も並びを意識している。
ａａａａ１と１ａａａａは別（＝違う）としたし、ａａａ１ａもａａ１ａａもａ１ａａａも別だ。
英字だけでも同様にａａａａｂとａａａｂａとａａｂａａとａｂａａａとｂａａａａは違う扱い。

では並びは無視した組み合わせで考えてみる。
例えば前述の場合、ａが４つに１が１つ、あるいはａが４つにｂが１つと考える。
これは組み合わせ問題だが、同じ英数字を何回使ってもいいので重複組み合わせとなる。
式的には３６文字の中から５つ選ぶので３６－１＋５＝４０
（４０×３９×３８×３７×３６）／（５×４×３×２×１）＝６５８００８通り。
数学的には重複組み合わせという。
式は

そのうち英字だけのケースは同様の計算で１４０５２６通り。
式は
２１．７％で、やはりほぼ１／５だが、並びを意識しないときより少し多い。
残りの約８割は少なくとも１つは数字が含まれる。

では、数字１つの場合。
英字４つと数字１つなので、２６字の中から４つ選ぶ重複組み合わせと
１０字の中から１つ選ぶ組み合わせの掛け算で
式は
答えは２３７５１０で英字だけより１．７倍多く、全体の３６．１％。

数字２つはどうか。
英字２６文字の中から３つ選び、数字１０個の中から２つ選ぶ組み合わせの掛け算。
式は
答えは１８０１８０で全体の２７．４％、まだ数字なしより多い。

数字１つと数字２つを足すと６３．５％、２／３近くに達する。
こうして計算を進め、整理すると次のようになる。

（１）すべて英字（英字：５、数字：０）２１．７％

（２）英字：４、数字：１　３６．１％

（３）英字：３、数字：２　２７．４％

（４）英字：２、数字：３　１１．７％

（５）英字：１、数字：４　　２．８％

（６）英字：０、数字：５　　０．３％

と、言うことなのに、「別の画像を表示」をやってみたら結構数字４つが出る。


さすがに全部数字は出ていないけど、数字４つは１６回のうち５回。
普段ログインしているときは数字４つは珍しい感覚なので出過ぎ感満載。
１回目と別画像を表示するときの選択ロジックが違っているのではないかと思えるぐらいだ。