3元数の積

3元数a+bi+cjとx+yi+zjの積をみる。
(a+bi+cj)(x+yi+zj)
=(ax-by-cz)+(ay+bx)i+(az+cx)j+bzij+cyji
下線部の項によって3元数の積は3元数にはならない。ij=X+Yi+Zjと変形できるとも思えない。閉じていない。3元数は体の原則を満たしていないのである。
下線部を0とみなして、絶対値の原則と照らし合わせてみる。
(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)=(ax-by-cz)²+(ay+bx) ²+(az+cx)²
この式は成り立っていない。左辺は右辺より(bz-cy)²だけ大きい。
すなわち、
(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)=(ax-by-cz)²+(ay+bx) ²+(az+cx)²+(bz-cy)²
なら成り立つのである。
このbz-cyは下線部bzij+cyjiと密接に関係している。すなわち、ij=-jiと想定するとbzij+cyji=(bz-cy)ijである。
いま、3元1,i,jに加えて第4の元が見え隠れしている。ij=-ji=kとおこう。i²=-1,j²=-1を基礎にk²の値を調べてみよう。
k²=(ij)²=ijij=-i(ij)j=-iijj=-i²j²=-1
i²=j²=k²=-1である。虚数単位として整合的ではないか。
3元数a+bi+cjとx+yi+zjの積は、次のようになる。
(a+bi+cj)(x+yi+zj)
=(ax-by-cz)+(ay+bx)i+(az+cx)j+(bz-cy)k
3元数の積は4元数に開いている。
次に、3元数と4元数の関係をみよう。