ベクトル・内積・外積の起源

これらの起源は四元数の純虚数の積にあるようだ。いいかえればハミルトンにある。四元数の純虚数ai+bj+ckをベクトルとよぶ。
四元数の純虚数ai+bj+ckとxi+yi+zkの積を考える。
(ai+bj+ck)(xi+yi+zk)
=-(ax+by+cz)+(bz-cy)i+(cx-az)j+(ay-bx)k
ここで実部（前のアンダーライン）が内積である。虚部（後のアンダーライン）が外積である。
「内」積というのは、3元i,j,kのうち、同じ内部の元同士の積を計算するからである。iならばi、jならばj、kならばkである。i,j,kはi²=j²=k²=-1より、i,j,kは消えて係数だけが残る。スカラー積になる。
「外」積というのは、3元i,j,kのうち、違った外部の元同士の積を計算するからである。iならばjとkの積、bjzk+ckyj=(bz-cy)iである。jについてはkとi、kではiとjである。jk=-kj=i,ki=-ik=j,ij=-ji=kより、この計算では係数と元は残る。ベクトル積になる。