こんにちは。駿台ニュージャージー校です。
皆さんは中学生の時に三角形の合同条件について学習したと思いますが、ご存じのように合同条件は三角形の決定条件でもあります。例えば3辺の長さが決まると三角形が一意に決まります。三角形の形と大きさが決まれば面積も決まります。従って三角形の面積は３辺の長さを変数とする関数といえるわけですが、他の二つの合同条件についても同じことが言えます。
ところで高校生用の教科書や参考書には３辺の長さから面積を求めるヘロンの公式や２辺とその間の角から面積を求める公式は出てきますが、１辺とその両端の角から面積を求める式は出てきません。恥ずかしながら不勉強な私は、まだそれを扱っている参考書を見たことがありません。そこで今回は1辺とその両端の角から三角形の面積を求める式をつくってみましょう。以下、簡単な図を書きながら読み進めてください。
⊿ABCの辺BCと辺ABの長さをそれぞれa、cとし∠Bと∠Cの大きさを x, yと置きましょう。
正弦定理を用いて下の式を得ます。
a / sin {180 ー( x + y )} = c / sin y
∴ c = a sin y / sin ( x + y ) ―①
⊿ABCの面積は次のように表されるから
⊿ABC＝ 1/2 ・ a c sin ｘ ―②
①を②に代入して整理し
⊿ABC＝a^2・sin x sin y / 2 sin(x+y)
a をBC、x, y を∠B、∠Cを用いて表すと次の式になります。
⊿ABC＝BC^2・sin ∠B・sin ∠C / 2 sin(∠B＋∠C）
簡単な計算で意外とすっきりした式が出てきました。これなら練習問題としても出題できそうですね。
数学には教科書や参考書に出てくる以外にもいろいろと興味ある問題があります。受験勉強も大切ですが、時には自分でいろいろと問題を探してみてはいかがでしょうか。例えば定理の条件を少し変えてみたらどんな結果になるだろうかとか、平面で成り立つ性質を空間に拡張できないかとか。直接は拡張できない場合にも何か条件を付けたら自然な形で拡張できる場合もありますから、どういう条件が必要か、またその条件はどこまで緩くすることができるかなど、探せばいろいろと興味ある問題が見つかるはずです。頑張って探してみましょう。
駿台NJ校 S.K.
