円の交点を求めたい

今、下の図のように、赤い円と青い円があって、その交点
（緑の点）を求めたいとする

つまり、
赤い円の中心を(x1,y1)半径をr1
青い円の中心を(x2,y2)半径をr2
とする。
このとき、緑色の交点(2つ現れる）(cx1,cy1),(cx2,cy2)を求めよという問題。

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この問題をネットで検索する、つまり「円の交点を求める」を調べると


Ｂ１７．円と円の交点を求める
http://www.hptown.com/ucad/Ufb00017.htm

は美しいものの・・・

ほかは、ぎゃあ・・・式は解きたくない（－＿－；）
ってことで、自分で考えてみた。

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まず、図のように赤い円の中心をＡ，青い円の中心をＢ，円の交点のひとつをＣとおく

そして、ＡＢ，ＡＣ，ＢＣ間に線を引き
Ａが原点になるように平行移動
ＡＢの線をＸ軸になるように、回転すると、下の図となる。

あとあとにために、頂点ＣからＡＢに対して垂線を引き、その交点をＤとします。

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■交点までの高さ（Ｙ）を求める

ここで、唐突だけど、この三角形ＡＢＣの面積を求めることを考える。

・ひとつはヘロンの公式で求まる
・もうひとつは、1/2*底辺*高さで求まる

ことがわかる

つまり、交点の高さ（＝Ｙ座標＝高さＣＤは）

１．ヘロンの公式で、ＡＢＣの三角形を求め、
２．三角形の面積＝1/2*底辺ＡＢ*高さＣＤ
　　高さＣＤ＝２＊三角形の面積／底辺ＡＢ

で求まる。

ヘロンの公式は、ｓ＝１／２（線分ＡＢ＋線分ＢＣ＋線分ＣＡ）
　　（線分というのは、線分の長さのこと）としたとき

面積＝√（ｓ＊(ｓ－線分ＡＢ）＊（ｓ－線分ＢＣ）＊（ｓ－線分ＣＡ））

で求まる。ここで、
　　線分ＡＢは、Ａ点とＢ点の距離
　　線分ＢＣは、円Ｂの半径
　　線分ＡＣは、円Ａの半径
なので、ｓも面積も、求めることができる。これを、２のほうに代入すれば、高さがもとまる

以上により、交点までの高さは求まる

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■Ｘをもとめる

　ではつぎに、Ｘをもとめる。交点からＸ軸に対して、垂線をおろす。
交点をＤとする。Ａが原点なので、ＡＤの長さが、Ｘの値となる。

　ここで、　三角形ＡＤＣを考える。

　線分ＡＣは半径、線分ＣＤは、今求めたＹであり、線分ＣＤ／線分ＡＣは、sinの関係にある。
　このとき、cosは、求めたい線分ＡＤ，つまりＸの値になる。

　そこで、線分ＣＤ／線分ＡＤの値をsinとすると、求めたいＸ（cosは）
　Ｘ＊Ｘ+sin*sin=1、Ｘ＝±√（１－sin*sin)
　でもとまる。Ｘがプラスマイナス２つでる＝交点は２つ

　これで、Ｘ，Ｙがでた

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あとは、元通りに回転移動、原点をＡにしたので、元に戻す平行移動をすればいい

うん、ことばでかくと、ぐちゃぐちゃだな。
プログラムだと、かんたんなのに・・・