共分散構造分析

平成２５年度筑波大学重点公開講座「統計的解析によるビジネスデータの高度活用」
の第３回尾崎先生による「共分散構造分析」を昨日（９月１７日）聞いてきたので
メモメモ

---

・理論と応用をまぜまぜしながら解説

「入門共分散構造分析の実際」より
・パス図
　　四角で囲まれているもの→観測変数：データ
　　丸く囲まれているもの→因子（潜在変数）：まとめたもの
　　Ｅと書かれているもの→誤差
　　単方向のやじるし→回帰

四角をそのままみると、いっぱいあって、煩雑
　→いくつかをひとつにまとめ：見通しよくする

２つのフェーズ
　　因子を導出するフェーズ：因子分析
　　関係を調べるフェーズ：パス解析

共分散構造分析「入門編」
　　中学一年と高校１年の知能の関係
　　　・知能を抽出する
　　　・知能の間の回帰分析

共分散構造分析
・潜在変数間のパス解析（因子の間の回帰分析）
・因子分析と回帰分析を同時に行う
　　→モデルの適切さを調べることが可能
　　　　→立てた仮説が正しいか：演繹

統計学の専門家の視点
　観測変数間の共分散行列をデータとモデルの
　両方で表現して両者が近づくようなパラメータ
　を推定する方法

共分散構造分析が適用されるデータ
　　心理学・社会学
　　　　因子分析：知能から発展
　　量的データ
　　質的データ

本日の解説
　　確認的因子分析・パス解析・潜在変数間のパス解析
　　今日分散構造分析にかかわる理論的知識
　　探索的因子分析については、時間の関係で割愛
　　　因子分析：２つある
　　　　　探索的因子分析：普通因子分析はこっち
　　　　　確認的因子分析

因子分析とは
・（観測されている）変数間のまとまり（因子：潜在変数）
　　を見つけるための統計手法
　　→相関の高い変数同士が同じ因子にまとまる
　　因子分析をみて、まとまり方

確認的因子分析
・各観測変数がどの因子の影響を受けているかを
　仮説としてモデル化する

　モデルの適切さは適合度という指標で検討される
　　　→今日分散構造分析の枠組み

　探索的因子分析：
　　　観測変数と因子の対応がついていない場合

・観測変数のうち、因子で説明されない部分が誤差である
　　文系因子
　　理系因子
　　　因子間のやじるし：相関
　　いろんなモデルが作れる
　　→制約を課さないと解が求められない

　　一番良いモデルは何か？→適合度指標
　　　構造方程式モデル：ＳＥＭ
　　当てはまりが悪いモデル：自分勝手なこと言っている

　　指標：ＧＦＩ，ＡＧＦＩ，ＡＩＣなど

・指標
　２つに分かれる：絶対的な指標と相対的な指標
　絶対的な指標：ＧＦＩ，ＡＧＦＩ，ＲＭＳＥＡ・・・
　　　かい２乗のｐ値：大きいほうがいい（０．０５以上）
　　　　　→ＳＥＭでは棄却されると都合悪い
　　　いまは、ＲＭＳＥＡが良く使われる
　相対的な指標：ＡＩＣ，ＢＩＣ

・因子負荷量
　　因子分析で一番重要なアウトプット
　　観測変数が因子から受けている影響の大きさを
　　数字で表したもの
　　　標準化を行って－１～１の範囲で表現

　回帰分析における説明変数（独立変数）
　が因子になっている場合の回帰係数

・因子間相関
　　因子と因子の間の相関係数
　　因子得点間の相関
　単回帰分析と同じ：１つの→
　重回帰分析と同じ：２つの→

　共通性：因子で説明できる部分→Ｒ２
　独立性：説明できない部分

探索的因子分析
　すべてからすべてに→がひかれている
分析例
　価値指向性尺度
　逆転項目に注意：測定しようとする概念の逆の概念を測定
　　　→質問文をちゃんと読んでもらうため
　　　→正の方向に得点を変換してから分析するのが一般的
　　　→２因子になることが！
　　　　　正の方向と逆転項目（ただし、相関高い）
　　　　　　→態度が違う？
　標準化推定値と非標準化推定値
　　理論１＝α理論＋誤差
　→非標準化：いじらない
　→標準化：理論と理論１の分散を１にする→αもかわる

　誤差分散
　　標準化をすると理論１αの２乗＋誤差１＝１になる（１＝理論１の分散）
　　→理論１以外でも同じ
　　誤差の分散が誤差分散
　　　→推定すべきパラメータ

確認的因子分析のまとめ
・観測変数を因子にまとめるための方法
　因子を与える
　因子負荷量
　想定したモデルが当てはまっているか「確認」する
　　　→指標をもちいる
　非標準化推定値と標準化推定値の２種類
　因子負荷量と誤差分析と因子間相関

識別
・パス図で理解
　　→なぜ、共分散構造分析？
・突然ですが、連立方程式の解を考えます
　　唯一の答えが求まる→丁度識別(Just Identified）
　　満たす組はない→識別不能(over Identified）
　　無数にある→識別不定(Unidentified）

識別不能のとき、どちらのほうが、適切か
　　→適切さの程度はわかる

解の不適切さの程度
　不適切さの程度を最小にするような(a,b)の組をみつける
　　→最小二乗法
　不適切さの程度が適合度と同等の意味を持つ

丁度識別の確認的因子分析モデル
→１つの解が求まる
　パラメータ：因子負荷量、誤差分散
　因子の分散、誤差からの係数＝１

識別不能の確認的因子分析モデル
　　４つに増えた：ベストのものを考えられる

識別不定の確認的因子分析モデル
　　２つにへると：解が無数
→はじめ、解が求まらないといった状況

共分散構造分析の仕組み
・標本データから計算される観測変数間の共分散行列Ｓ
　パラメータで表現された観測変数間の共分散行列Σ
　ＳとΣの差を小さくなるパラメータを推定する

　→Σのパラメータの方程式＝Ｓの値とおくと
　　方程式６本、変数６本→１つにきまる

　４つの因子だと
　　１０本の方程式、８つの変数→方程式が多いので識別不能

　２つの因子だと
　　方程式３本、４つの変数→方程式が少ないので識別不定

　→２つの因子の場合
　　２つの因子は同じ、誤差分散が同じなどの仮定をおくと解ける

なぜ、因子の分散＝１、誤差からの係数＝１としたか？
　→パラメータの数が増え、識別不定になってしまう。
　因子負荷量と因子の分散は連動しているので、因子の分散＝１とする
　誤差の分散と誤差からの影響は連動しているので、
　　どちらかを１に固定することで、方程式を識別する

適合度
　連立方程式によく当てはまる解であるほど、適合度は高くなる
　　丁度識別：完全な適合→適合度検討できない
　　識別不能のとき→適合度検討できる
　　識別不定→そもそも解がもとまらない

自由度＝連立方程式の本数－パラメータ数

左辺＝モデル、右辺＝データ
　右辺のデータは変わらない
　左辺のモデルは変化する
　　　→適合度は変わる
→モデルを変更してもＳは変わらない
　でもΣは変わる（モデルを変更すれば）
　モデルを変更するとＳとΣが近くなる可能性があるので
　モデル比較を行う

倹約的なモデル（倹約的な適合度）
　ＲＭＳＥＡ→倹約的な考え方
　ＳとΣを近づけるにはパラメータをたくさん入れればよい
　　→別のデータでは当てはまり悪くなる
　推測統計学
　　頑健なモデルをだす
　　→倹約的な指標を使う

パス解析
　パス図
　パス解析とは：観測変数間の因果関係をモデル化し、
　パス係数や相関係数によって、関係の強さを調べるための分析

　Ｘ→ＹでもＹ→Ｘでも適合度が変わらないことがある
　　→同値モデルという
　→因果の方向性を知ることは難しい
　　分析者が仮定したモデルを分析

「グラフィカル多変量解析」より
　　→内容的には共分散構造分析
・４つの観測変数
　　乗車年数、走行距離、車検、価格
・モデル１
　　パス図、
　　パス係数
　　非標準化、標準化：共分散と相関の関係と同じ
　　非標準化もいいところある
　　　：単位に依存させて解釈することでわかりやすいことも
・モデル２
　１個→入れる
　　　決定係数が増える：誤差分散に注目

直接効果
　　→ダイレクトに影響する
間接効果
　　→間接的に影響する
総合効果＝直接効果＋間接効果

直接効果の解釈
　　他の条件が一定なら・・・
間接効果の解釈
　　間接効果間の係数＊直接効果の係数
総合効果の解釈
　　直接効果＋間接効果

・単位がある場合は単位に沿ったほうがわかりやすい
アンケート調査：単位がない
　　→標準化したほうがわかりやすい
　　→心理学：単位ない

標準化されている場合
　変数が１増える＝１標準偏差増えている
　標準化Ｚ＝（Ｘ－Ｘの平均）／標準偏差
　Ｚが１増える＝（Ｘ－Ｘの平均）が１標準偏差増える

「多変量データ解析法」より
・従属変数に複数の変数が影響を与える場合
　　→直接効果の解釈と同じ

ＳＥＭにおけるパス係数の推定方法
丁度識別＝飽和モデル

識別のためのルール
　初期値を変えて分析しても、結果が変わらなければ、
　識別されている


潜在変数間のパス解析（確認的因子分析＋パス解析）
・因子変数間のパス解析（いわゆる共分散構造分析）
　　希薄化の修正
・そのデータだからいい結果が出た
　　→別のデータなら拮抗してるモデルがよくなるかも
・パス係数の解釈

希薄化
・因子を導入する理由
　因子分析のモデル
　　Ｘ＝a*F+E
　Ｆ因子（因子得点）＝観測変数（Ｘ）－誤差（Ｅ）
　誤差
　　　測定誤差
　　　独自因子
　共通してくるところが知りたい
　Ｘ１＋Ｘ２＋Ｘ３の合計得点は３Ｆ＋Ｅ１＋Ｅ２＋Ｅ３
　　→誤差が足されてしまう
　誤差の影響で薄まる：希薄化
・因子を導入するメリット
　合計得点よりも相関が大きくなる
　因子を使用するほうが研究目的に即している

多母集団解析
・２枚パス図を出す
　　複数の母集団を想定する
　　　→分けないと本当のことがわからない状況
　　等値制約：群１と群２のパラメータを小さくする
　　　　→a1=a2
　　　　→測定不偏の制約

適合度のよしあし：パラメータが近い値なら等値にしても
　　適合度悪くならない

企業イメージの多母集団解析：鈴木先生
　菊の花
　２つの変数：相関受けていれば、ＯＫ
　１つの変数でも可能（実質的に同じにする：最近はそんなことしない）

職場環境と個人の意識の関係
　探索的因子分析をした→仮説が存在しなかったから

日経企業イメージ調査

ソフトウェア
　たくさんある。
　昔はＳＡＳのprocedure→多母集団解析ができないので、今使われていない
　Mplus：広範囲、お金かかる
　Rのフリーソフト：らばーん(lavaan),SEM,OpenMx
　ＥＱＳ，Lisrel（りずれる）
　→方程式を書かないといけない

　パス図を書けばいい
　　　ＡＭＯＳ
　　→日本人ユーザーおおい

　Ｍｘ：フリーソフト
　　Σを指定する

・ユーザー多いのはＡＭＯＳ
　特殊なことしなければ、Ｒでできる