状態空間モデルとカルマンフィルタ、階層ベイズとＭＣＭＣ法なんかを聞いてきた

筑波大学大学院文京キャンパス公開講座
「統計的解析によるビジネスデータの高度活用」
を聞いてきた！その内容をメモメモ

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マーケティングデータを題材にモデリングをどうするか？
ベイズ→横断的な形で
統計　　大雑把に３つ
　・ネイマン・ピアソン：繰り返し実験（頻度論）
　・フィッシャー　　　：尤度にすべての根幹をおく
　・ベイズ統計：

最尤法；統計の中ではデータとパラメータ
　→パラメータを１つに決めうち

ベイズ：データもパラメータも確率変数
　→確率分布にしたがっている

＜＜ベイジアンモデリング超入門＞＞
・統計モデル
　数式によって表現される数理モデルの一種
　変数で表現し、変数間の関連は数式
　　一般の数理モデル：不確実性をふくまない
　　統計モデル：不確実性を明示的に取り込む
　　　→ノイズの影響を受けるので一意に決まらない
　　　　不確実性を確率の概念で表現するとき
　　　　その数理モデルを統計モデルと呼ぶ

尤度関数と最尤法
尤度：確率密度関数と裏表
　　対数尤度を最大にするようにパラメータを決める
　　既知の確率分布（パラメトリック）なら、最尤法でパラメータが決められる

統計的モデリングのパラダイムシフト
　　従来
　　　パラメータの個数：小さくするのが美徳（けちの原理）
　　　　→記述能力低い
　　　パラメータを増やしたら？：説明力を高めることはできる
　　　　→汎化能力は低下する

　　対策
　　　パラメータも統計モデルで表現する

ベイズの定理
　　さまざまな情報を分布の形で捕らえる
　　　　平均→分布
　　通常は尤度関数しかつかわない
　　ベイズは尤度関数・事前分布→事前分布を使う

ベイズモデルの構造

　　α　　２層目：ハイパーパラメータ
　 ↓
　θt　　　１層目：αが与えられたときθの挙動を表現
　 ↓
　Yt
　　　　　データ：θがあたえられたときのデータ

t:時系列だと時点、階層ベイズだと人

事前分布の決め方：４つ
・主観的に決める
・モデル化しているデータとは別の情報源からとる
　　　異種情報統合
・自然共役事前分布(conjugate prior)
　　決まった分布を使う
・平滑化事前分布

分布
・事前分布、事後分布、尤度関数が同じ形の分布：共役
　　→けいさんべんり
指数型分布族

状態空間モデル
前とほぼ一緒、ちょっとだけずらす

ベイズモデルのタイプ：αの推定をどうするか
　フルベイズ法：ベイズで行う
　経験ベイズ：最尤法で行う

＜＜状態空間モデル＞＞
・時間経過に伴って、変化がある
　　→通常の統計的アプローチで対応できるか
　　　システムノイズを使う
　　→観測モデルとシステムモデルの２つの方程式

・状態ベクトル
　　　状態変数　１こ１この変数
　　　状態ベクトル　状態変数をまとめた
　状態空間モデル

・線形ガウス型状態空間モデル
　　　観測するモデル
　　　yt=HtXt+Wt
　　　時間進展するモデル；システムモデル
　　　Xt=Fxt-1+Gvt
・鎖状（さじょう）構造グラフィカルモデル
　　図で書く

・一般状態空間モデル
　　正規分布ではないが既知の確率分布

・同時分布
　以下の２つのマルコフ性
　　　１個前がわかると、次が規定できる
　　　Xtが決まるとYtが決まる
　がきまると、簡単になる

周辺分布
　どちらかだけの分布
条件付分布

・状態空間モデル：３つの分布
　　１期先の予測の分布：昨日までの予測
　　フィルタ（ろは）分布：今日までのデータで予測→オンライン推定
　　平滑化分布：すべてのデータがある→バックワード推定

・分布のアップデート

　　一期先予測尤度の最大化

・固定区間平滑化
　　すべてのデータを与えた元で、任意の時点
　固定ラグ平滑化
　　亜種（あるていど）

・状態推定
　　時間更新ルーチン
　　　　一期先予測
　　　　フィルタリング
　　　　一時点尤度計算
　　　→対数尤度
　　パラメータ固定ルーチン
　　パラメータ最適化ルーチン

事例１：線形ガウス型
市場反応分析：市場反応モデル
　　→集計型事象反応モデル
　通常：静的集計型市場反応モデル
　　→もっともメジャー
　　→不十分
・売価下がるといっぱい売れる
・エンド陳列売り上げのびる
・山ずみ→売価下がる：トレードプロモーション

ロスリーダー
　赤字になるけど、集客するための商品

・コーヒーは１度買ったらすぐには買わない
　　→時間がないとわからない

・前半
　　値引き→売り上げはねる
　後半
　　値引きしても→売り上げあがらない
　というとき
　　→時間がないとわからない

・潜在変数
　　→観察されない、観察できないメカニズム

・仮定が必要：モデル化の仮説

・動的市場反応モデル
　　時変係数モデルの考え方
　　　　理論駆動の考え方
　　　　データ駆動の考え方
　　マーケティングは、理論駆動の考え方がない
　　→データ駆動で

・時変係数モデルのモデル化
　　　ノイズを最尤法で

・状態ベクトルの推定
　　　１期先予測
　　　フィルタ：カルマンフィルタで
　　　１期だけ固定区間平滑化する

→ＤＬＭダイナミックリニアモデル
　　Ｒでも推定できる

事例２：山積み陳列の実施の有無

・分布に違いがありそう

・モデル化の仮定

・状態空間モデル表現
　　システムモデル
　　観測モデル
・一期先予測
　　状態なので、積分はいらず、状態の足し算
・フィルタリング（非ガウス、離散）
・平滑化（非ガウス、離散）


＜＜階層ベイズモデル＞＞

フルベイズ：
　　ＭＣＭＣ法（マルコフチェーンモンテカルロ）
　　　山全体（事後分布）がどうなっているかが関心
　　やること
　　　事後分布のサンプリング
　　ステップ
　　　１．エルゴード性を有している（時間平均と空間平均が一致する）
　　　　　マルコフ連鎖のシミュレーションを通じたサンプリング
　　　２．モンテカルロ積分
アルゴリズム
　　初期値
　　マルコフ連鎖＊
　　動く前と動く後の比α
　　乱数
　　αと乱数により、
　　動いたときと初期値のどちらかをとる　
　　初期値の部分を捨てる

＊マルコフ連鎖：
　　Ｍ－Ｈサンプリング
　　　　・ランダムウォークで決める

　　完全条件付き分布のとき
　　　→ギブスサンプリングが使える
　　　　αがいつも１
　　　　（シングルムーブの特殊系）

事前条件＝人との間
尤度＝自分の中のこと
事後条件が知りたい＝尤度と事前条件がわかればよい

　　他人のデータも使って事前条件を作る
　　共役：ギブスサンプラー使える

ＤＡＧ（だぐ：だいれくてぃっどあさいんにんぐぐらふ）

Rのパッケージ bayesm
データがあれば、階層ベイズできる
mcmcpack

winbugs：独立のソフト
→ギブスサンプラー

事例３：ブランド選択

非集計型市場反応モデル

汚染水にしろ、オリンピックにしろ、土木作業ロボットだろうね！

福島第一原発の汚染水問題。
一気に解決したいなら、土に埋めるしかないだろう。

　　タンクの周りに、ゼオライトかなんか巻き、
　　土でタンクを覆い
　　その上をコンクリートですっぽりかぶせる

コンクリートで覆ってしまえば、その上にタンクを置いても大丈夫？
まあ、基本は、水を止めるには、土嚢を積むってことっすかね？

こんな、危険な（放射能があるので）仕事をするのは、土木作業をする遠隔ロボット？

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そして、東京オリンピック

これも、フル稼働させるとなると、人よりロボット？
となると、土木作業をする遠隔ロボット？

ってことで、時代は、土木作業をする遠隔ロボットになりそうだ・・・

Ｐ．Ｓ

もっとも、東京オリンピックは７年先。
それまでに、東京に地震とか、来ないのだろうか・・・？？