何番目がお得？

福引でお馴染みのガラガラ抽選機があるとします。
この中には、赤玉１個と白玉99個の計100個の玉が入っています。
その抽選機を100人が１回づつ回していきます。
そして、赤玉が出た人が大当り。その時点で抽選会は終了です。
さて、何番目に抽選機を回すのが一番有利でしょうか？

友人に、ちょっとした確率の問題を出してみました。
結構悩みながら考えていましたが、そんなに難しいですか？
ちなみに友人は、一番最初と答えました。
「理由は？」と聞くと、確実に当りが入っている状態で抽選に参加できるからだそうです。
なるほど。気持ちは分かりますねぇ。
でもこれは、気持ちではなく確率の問題です。

最初に抽選に参加する人が赤玉を出す確率は、当然1/100です。
では、逆に100人目、つまり最後の人が赤玉を出す確率はいくつでしょう？
これは、最後に残った玉が赤玉であった確率と考える事ができます。
深く考える必要はありませんね。
当然これも1/100です。

早い順番で抽選する場合、確実に赤玉がある状態で抽選できますが、当選確率は1/100に近い低い状態です。
遅い順番で抽選する場合、遅くなるにつれ赤玉が残っている確率は除々に低くなっていきます。
しかし赤玉がまだ出ずに抽選会が継続していた場合、当然はずれの白玉の数が減っている訳で、その分当選確率はどんどん１に近づいて高くなっていきます。

つまり抽選の順番が遅くなるにつれ抽選会に参加できなくなる（それまでに赤玉を出される）リスクは大きくなりますが、その分当選確率も高くなります。
そしてそれらを考え合わせると、結局何番目に抽選に参加しても赤玉を引く期待値は1/100で同じなのです。
もしそうでないと、順番を決める抽選をしないといけなくなります。

説明を聞けば納得できる当然の答えです。
でも改めて問われると、ちょっと考え込んでしまう事がある問題です。
みなさんは、こんな問題を考えてみたりした事ありますか？