なかなか難しい「完全数」のはなし

私は若いころから数字に興味がある、というよりは数字が好きだというのが正しいかもしれません。

ヒトの名前を覚えるのが非常に苦手なのですが、数字は覚えるというより頭に残るという感じです。ですから電話番号などは覚えようとしなくても、1度聞けば2，3日は思い出すことができるという特技を持っていました（今では次の日にも思い出せません）。

多分高校のころから4つの数字を順番は関係なく、加減乗除を使って10にするというパズルのようなものをよくやっていました。例えばバスを待っている間、通過する車のナンバーを使って、その車が見えなくなるまでの間に10にするのを友人と速さを競っていました。

これは今でも信号待ちなどで前の車のナンバーで計算することがあります。０以外の数字であれば絶対にできないものもありますが、ほとんど見つかるような気がします。

今でも記憶に残っているのが1，1，9，9という数字です。正解を書きますと（1＋（1÷9））×9で10になりますが、計算の中に分数が入るというのが難しい特徴です。

さて6月28日が「完全数」の日という記事を読み、完全数を思い出しました。完全数というのは、「その数自身を除いた約数を足すと、その数自身になる数」となっています。これは単なる数字の遊びのようなもので、なぜ完全数という名前が付いたかはよく分かりませんでした。

例えば６の約数は1，2，3，6となりますが（1とその数自身は約数となります）、6を除いた1＋2＋3が6になるわけです。同様に28は1，2，4，7，14でこの合計も28になります。一番小さな完全数が6で、次が28であることから6月28日が完全数の日となったようです。

こういった性質を持つ完全数は無数にあるような気がしていましたが、実際は非常に少なく数学者の間では問題になっていました。ただし古代ギリシャの時代に、完全数を計算する式が出来上がりましたが、その中の「2ｎ-1」（２のｎ乗です）が素数であるときという前提がついていました。

この素数かどうかを判定するのが、現代の数学をもってしても難しいようです。5番目の完全数はこの式からでましたが、33550336という大きな数になっています。

この計算式は古代ギリシャ時代ですのでその後ずっと探索が続き、1950年代以降はコンピュータによる探索が続けられています。それでも25番目の完全数が見つかったのは1978年となっています。

現在までに51個の完全数が見つかっていますが、51番目の素数は24862048桁という途方もない大きな数となっています。このブログのページにびっしり数字を書いても、1万ページ以上続くという大きさです。

現在52番目の完全数の探索は続いているようですが、現代の情報のセキュリティに関連するとしていますが、所詮は数学者やIT研究者の遊びのようなものと思っています。

ただ完全数は私が思っているよりはるかに難しい問題であることも確かです。