相似についてずっと考えていた。中学校の教科書には、
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１つの図形を、形を変えずに一定の割合に拡大、または縮小して得られる図形は、
もとの図形と相似であるという。
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以前「相似の定義」という記事を書いてそのままになっている。
ここで問題なのは「形を変えずに一定の割合に拡大、または縮小して」ということ。
どうしたらこのような拡大縮小ができるのだろうか。
図の拡大縮小は１点を中心にして次のようにすると良い。すなわち相似変換というものだが、
中学校の教科書ではこの様子を、方眼上の格子点で説明していた。
この図。
ここではＯを中心としてＯＡ’＝ＯＡ×２ という関係で、元の図の１点Ａに２倍の拡大図になる点Ａ’を対応させている。
こうして出来た図がこれ。
教科書ではこの図を使い拡大図の性質を学ばせている。
ところが、この四角形は格子点を頂点としているので図は一般的ではない。
一般の四角形ではこんな図が考えられる。
格子点を使っても使わなくても図で、ＯＡ’＝２ＯＡ，ＯＢ’＝２ＯＢ という条件で
Ａ'Ｂ'＝２ＡＢ，Ａ'Ｂ'//ＡＢがいえる。
「中点連結定理」を当てはめればよいからだ。
これがいえれば、
同様にして、２つの図の各対応辺の比は一定で１：２となることが保証される。
また各対応辺が平行なことから、平行線の同位角が等しいから、各対応する角はそれぞれ等しいことが保証されることになる。
なぜなら、格子点を使わない図で、Ｂ'Ｃ'//ＢＣ, Ｄ'Ｃ'//ＤＣ
平行線の同位角は等しいから、
角ＯＣ'Ｂ'＝角ＯＣＢ, 角ＯＣ'Ｄ'＝角ＯＣＤ
それぞれくわえて、角Ｃ'＝角Ｃ
同様に角Ａ'＝角Ａ
対応する辺が平行なことから同位角が等しいので、
それぞれ引けば、角Ｂ'＝角Ｂ。また、角Ｄ'＝角Ｄ
こうして
「対応する角がそれぞれ等しい」ことがいえる。
つまり中点連結定理の結果を認めれば
「対応する辺の比が一定」「対応する角はそれぞれ等しい」が保証される。
こうして、拡大図縮図の性質、相似な図形の性質が導かれる。
しかし、現行の中学数学教科書では「中点連結定理」は、このあと三角形の相似条件を学んでからでてくるので、格子のない図形では説明ができないことになっている。
こういう事情から、格子点を使った説明がされている。
一般の四角形などでは、中点連結定理が使えない。これでは「循環論法」となり不具合を感じないのだろうか？
じつは相似について高校の教科書を調べてみても、きちんとした説明がされてはいない。
