駅前の整形外科

　駅前の整形外科から荷物が運び出された。昨年の１０月１日に突然院長が亡くなった。自転車置き場の目の前にある病院には、いつも年配の患者でいっぱいだった。土曜日など、自転車を置いて駅に向かうと、病院前には早くから５～１０人ほどの患者が病院が開くのを待っていた。

　４月に脱臼したときに、この病院を訪ねた。左肩が痛く、思うようにならなかったのは４月３日であった。小雨が降っていた道をとぼとぼと歩いて、駅前の病院に出かけた。しばらく待ってから、やっと診察を受けた。
　院長先生は、きりっとした顔立ちの方だった。ご老人達が病院に通ってくるのもうなづけた。

　脱臼骨折。
　ということで、肩に麻酔を打ち、三人がかりで脱臼の「整復」をしてもらった。三人がかりだったのだが、脱臼してから半日以上が経っていたので、整復がむずかしく、結局うまくいかなかった。
　院長先生は総合病院あてに紹介状を書いてくれた。
　整復が上手くできなかったので、いらだっていたようにも思えた。
　
　それから半年。総合病院に通うこともなくなってからの１０月。この病院のシャッターがおろされ、「院長急死」の張り紙がしてあった。

　夜になると、整形外科の看板に灯りがともるが、病院内では事後処理をする人影が時々見えた。先日、病院内の荷物が運び出された。

　１日しかお世話にならなかったが、紹介状のおかげで総合病院での診察が受けられた。先生の顔は忘れかけてはいるが、自転車置き場のそばを通るたびに、あの日のことを思い出す。

Macのモバイルノート

　Macのモバイルノートが発表された。実売２３万円とか・・・。週刊アスキーの先週号にあった。魅力的だが若干大きい。軽いのは分かる。1.9kgだそうだ。薄いので大きな茶封筒にもすっぽり収まる。
　んー様子見かな。もっと小さなモバイルがAppleから出ないかな～。

算法少女別解

算法少女の問題の別解



「長さ 2R の線分 AB を直径とする半円を描き，その円周上に点 P をとる。三角形 ABP の内接円の半径を r とする。次に，この三角形の外側に，この三角形の辺と元の半円に接するような円を,出来るだけ大きく描き，この円の半径を s とする。P を動かして r = s が成り立つようにした時，R とr の比を求めよ。」

（別解）

　図のようにPAと円O'の接点をCとする。接線の性質から

　r=1/2(PA+PB-AB)

ここで、R=1 とし, OM=t とすると
PA=2sqr(1-t^2)
PB=2t

したがって、r=1/2(2sqr(1-t^2)+2t-2)=sqr(1-t^2)+t-1 ・・・(1)

また、OM=ON-MN=1-2s=t であるから、ここでs=rとすると
r=(1-t)/2

これを(1) に代入すると、

(1-t)/2=sqr(1-t^2)+t-1

両辺を２倍すると　1-t=2sqr(1-t^2)+2t-2

移項し整理すると　3-3t=2sqr(1-t^2)

両辺を２乗すると　9-18t+9t^2=4-4t^2

13t^2-18t+5=0

(13t-5)(t-1)=0

t≠１より　t=5/13

これより、　r=4/13

R:r=1:4/13=13:4

生徒の可能性

　かけ算九九が分からない生徒、覚えていない生徒には足し算の繰り返しを指導する。
誰でも２の段くらいは覚えている。あとは５の段も易しい。
　そこで９の段から指導する。９は補数が１であるから分かりやすい。
９＋９＝？　とやる。実際には縦書き

　９
＋９
－－－
１８
＋９
－－－
２７
＋９
－－－

　これで８１＋９＝９０まで繰り返す。すると９の段の数が得られる。９の補数が１だから足し算は容易だ。

　７の段が難しい理由は発音しにくいことと、７の補数が３なので足し算が難しい。
　６の段はそれまでに親しみのある数に巡り会っているので補数が４で、足し算が難しいが九九は覚えやすいようだ。１２や１８、２４や３０は２の段や３の段、４の段５の段と共通の数が見つかるからだろう。６の約数に２や３があるからだ。
　７は素数なのも覚えにくい原因になりそうだ。

　足し算の指導をかけ算の指導につなげていくことができる。
再テストのときにこうした生徒との交流は楽しい。生徒の「育ち」が見えるからだ。

再々テストと正負の数の指導

　数学コンテスト再テストのあと再々テストを実施。これで再テストは５回目になる。テストは同じ問題を繰り返すのではなく。同じ形式で問題を入れかえる。テストを繰り返しても、学力が低い生徒は合格はできない。数学は単に暗記しただけでは通用しない教科である。そこが漢字コンテストやスペリングコンテストとは違う。
　私のねらいは、こういう機会を通じて、数学嫌いの生徒を減らすことである。例えば正負の数の段階でつまずいている生徒は、足し算、引き算が出来ていない。
　正負の数の考えは小学校の簡単な計算の段階でその基礎が出来ているようだ。

　例えば、　　３＋２＝５　のような計算は、純粋に足し算だ。
　ところが、　８＋３＝１１のような計算の場合は違う。それはこういうわけだ。

　位取りという約束によって、１１は１０＋１という意味になる。
すると、８＋３の結果をどう表現するのかといえば１０進法で表現するのだから
　８＋３＝８＋（２＋１）＝（８＋２）＋１＝１０＋１＝１１　となる。

　このとき、頭の中では３から２取られて８に加える操作をしている。
頭の中で、損得勘定をしているのだ。私はこれが正負の数の概念を作る元になるのではないかと思っている。

　ここらあたりの計算（一桁と一桁の加減）については生徒一人一人によって考え方が異なるようだ。

　数学教育協議会という民間サークル（私も会員になっている）では五二進法という考えで教えている人が多いと聞く。

　８＋３＝（５＋３）＋３＝（５＋３）＋（２＋１）＝５＋（３＋２）＋１
　　　　＝（５＋５）＋１＝１０＋１＝１１

　ところで、１０を２つの数に分解する方式では
　８＋３＝８＋（２＋１）＝（８＋２）＋１＝１０＋１＝１１
　と計算するので　
　８＋□＝１０　にあてはまる数２をさがすことが求められる。

　この方法は小学校一年生では難しいとされる。１０の補数を探せない児童もいる中では落ちこぼれを作る指導とならないだろうか。

　五二進法は「５の補数」を探せばよい。５の補数なら指を見ればよいからだ。
そして、片方の手が５、両手で１０となる。５や１０を「塊」としてとらえさせる指導法である。
　もちろん１０の補数が探せる児童には五二進法で教える必要はないだろう。

一桁の加減が出来るかどうかは　８＋７の結果を聞くことで調べている。
そのときの生徒の反応を見る。苦手な生徒は指を使ったり、紙につぶつぶ（・・・など）
を書いて答える。中学生３年生でもそういう生徒はいるのだ。
　私は　五二進法で　８＋７＝（５＋３）＋（５＋２）＝（５＋５）＋（３＋２）
　　　　　　　　　　　　　＝１０＋５＝１５
と教えていたが、正負の数の概念を教えるためには
８＝１０－２と考えさせ、１０の補数である２を思いつかせた方が良いと感じた。

つまり、８＋７＝８＋（２＋５）＝（８＋２）＋５＝１０＋５＝１５であるが
より本質的には
　８＋７＝（１０－２）＋（２＋５）＝１０－２＋２＋５＝１０＋０＋５＝１５
だったのだ。

もとの８＋３について言えば
表面的には
　８＋３＝８＋（２＋１）＝（８＋２）＋１＝１０＋１＝１１　であるが

実は、８＋３＝（１０－２）＋（２＋１）＝１０－２＋２＋１＝１０＋１＝１１
であるのではないだろうか。


　正負の数が分からない生徒には、一桁の加減に戻って指導する必要があるようだ。

三郷の温泉に

　三郷に温泉があるというので、早速行ってみた。外環道のそばにある。主に車で行くところらしいが、ツクバエクスプレスの三郷中央駅からバスで彦川戸２丁目で降りればよいということだ。
　三郷中央駅前はマンションが建っているだけで何もないところだった・・・。バスは３０分に１本くらい。あわてて、来たバスにすぐに乗ってしまったが、会社名が違う。まあいいか。１５分ほどで着くはずが、２０分経っても着かない。バスを間違えたらしい。そのうち「彦川戸１丁目南」という停留所があった。もうすぐだと思い、次の停留所が「彦川戸１丁東」。次だろうと思ったら「彦川戸公民館前」だって。
　あわててバスを降り、探した。なにしろ小型のバスで、細い道を通っていたので方向がよく分からない。歩いていくと、大通りが見えた。大通りに出たら外環道が見えたので、その方面に歩いていくと、目印の「ヤマダ電気」が見えた。実は帰りにヤマダに寄ろうとしたのだ。

５分ほど歩いたところで、お目当ての温泉に到着。







カウンターに直行したら、切符を買うシステムだということで、入場券と貸しタオルの券を購入。バスタオルや館内着もあるが今回はパス。風呂場は２階にある。詳しくはホームページで。

　脱衣所はそれほど広くない。洗い場も・・・。でお目当てのお風呂は、温泉が露天風呂。「ぬる湯」（湯温３９度）と「あつ湯」（湯温４２度）の他に「庵湯」があり、これは露天でなく湯殿。
　もちろんサウナも白湯もあり、ジャグジーも・・・。体重が58kg代になったところで上がった。

　レストランがあり、なかなか良い雰囲気。昭和時代のインテリアになっていて凝っている。気に入ったので、会員になった。会員だと入湯料が５０円安くなる他特典がある。

　今週はずいぶん風呂に入ったな～。おかげで健康が回復した。

インフルエンザ

　インフルエンザがはやっているため、百人一首大会が延期になった。昨日放送機器の点検をしたのに・・・。クラスによっては給食後下校になったクラスもある。数学コンテストの再テストは予定通り実施。いずれにしてもこれで一週間が終わり、ホッとしている。

反比例の利用

反比例の授業で、

教科書にこんな問題がありました。
「５人で折りづるを１０００羽折ることにしました。ところが、５人だと一人あたりの折る数が多いので、一人あたりの折る数が、５人のときの1/4になるようにしようと思います。何人で折ればよいですか」

教科書の解答は
（一人あたりが折る数）＝１０００／（人数）　という関係があるから、一人が折る数は人数に反比例する。
したがって、一人が折る数を1/4にするには、人数を４倍すればよい。

５×４＝２０　　答　２０人

こういう問題である。

解答に少し無理があるようだ。
　反比例は、中学校で初めて習う。
（一人あたりが折る数）＝１０００／（人数）が成り立つからと言って、ただちに反比例するということは分かりづらいものがある。

　人数を増やせば仕事が楽になる、つまり折る数が少なくなるから反比例になるだろうというカンは働くだろうが・・・。

　授業では生徒に自由に解かせた。
生徒はこんな風に解く。

　１０００÷５＝２００（羽）・・・一人あたりが折る数

　２００×1/4＝５０（羽）　・・・５人のときの1/4の折る数。

　１０００÷５０＝２０（人）・・・１０００羽を一人５０折るから
５０×（人数）＝１０００より

　こうしてから、あらためて、教科書のようにも解けると説明した方が分かりやすいと思う。反比例の考えを使えば解答が早いというのも強調できるはずだ。

　さて、こんな風に解いた生徒がいてちょっと感心した。

　１０００×1/4＝２５０（羽） ・・・５人あたりの仕事を1/4にする。

　５人はこのペースで折ればよい。

　１０００÷２５０＝４　・・・２５０羽折る５人のグループが４つ必要。

したがって、５×４＝２０

反比例の考え方とは少し違うようだ。

　この生徒は２０という答は出せたが、「よく説明はできない」と答えていた。
私は一人あたりではなく、５人あたりの仕事を求めたところに感心をした。

算法対決の図はこれではないかと

　一応江戸時代風に仕上げておきました。

こんな風だと思いますが・・・。


こちらの方がいいかも・・・。


　どちらも横に並んだ円が大円で直径が三寸。縦に並んだ円が小円で直径が二寸八分。

直角三角形の内接円の半径

　直角三角形の内接円の半径を求めてみましょう。
この事実から、算法少女の問題の別解が得られます。


これまでのように、三角形PABの面積に関してに２つの関係

三角形PAB=1/2*PA*PB=1/2ab

内接円の半径rを用いて
三角形PAB＝r/2*(PA+PB+PC)=r/2(a+b+c)であるから
これより、 r/2(a+b+c)=1/2ab
したがって　r=ab/(a+b+c)

この分母、分子にa+b-cをかけると

r=ab(a+b-c)/{(a+b+c)(a+b-c)}

三角形PABは直角三角形であるから、c^2=a^2+b^2より

分母は(a+b)^2-c^2=a^2+2ab+b^2-c^2=a^2+2ab+b^2-(a^2+b^2)=2ab

これより、r=ab(a+b-c)/(2ab)=1/2(a+b-c)

　 さて、三角形PABの各辺 PA,PB,ABの長さをa, b, c とする。
各辺 PA,PB,ABと内接円の接点をC,D,Eとする。
接線の性質により、r=PE=1/2(PA+PB-AB)=1/2(a+b-c)

ということは・・・

この r=1/2(a+b-c)を用いると、例の問題はもっと簡単に解けることが分かる。
実は、別解はこの方法でやってみた。
この方法は後日。