gbさんの質問に応える

=====gbさんの質問　　７月６日の記事のコメント===============================================
神戸大の（２）に倣い、背景 を　見抜き!!!!!;
http://www.sci.nagoya-u.ac.jp/kouhou/10/p14_15.html
の　具体例；
f[x]=x^3+6*x^2-8　のとき、神戸大の師に倣い
◆　g[x]∈Q[x] を多様な発想で　導出し,
g[g[x]]を求め、カンタン　に　して下さい。
g[g[g[x]]]を求め、カンタン　に　して下さい。
g^n[x] (n∈{3,6,9,12,.....}が一番易しいことを示してください。

神戸大の（3）に倣い、は

g[α1]=_____,g[α2]=_____,g[α3]=_____,
g○g[α1]=_____,g○g[α2]=_____,g○g[α3]=_____,

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とりあえず前半はできたと思います。
g(x)=1/2*x^2+2x-4

これでg(α)はf(x)=0の解になるはずです。
α1=4cos160゜-2
α2=4cos80゜-2
α1=4cos40゜-2

です。
導き方は後日。

訂正

記事に誤りがあった。
神戸大学の問題のg(x)で、g(g(x))の式が違っていた。
記事ではg(g(x))=-x²-x+1となっていたが、
正しくはg(g(x))=-x²-x+2

以下訂正記事
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x³-3x+1=0 を解いてみたら、１つの実数解は 2cos40°  

あと２つは角度が120度ずつ増えて、2cos160°,　2cos280°＝2cos(-80°)=2cos80°

結局問題のα₁,α₂,α₃は、2cos160°,2cos80°,2cos40°だと分かった。

この方程式の３つの実数解は虚数の立方根などからなる複雑な式で表される。

「還元不能」であると言われる。

gbさんの言う、「神戸大の師に倣い背景を見抜き」というのはこういうこと？

cosの２倍角の公式より、cos2θ=2cos²θ-1

α₁=2cos160°=2cos(2・80°)=2(2cos²80°-1)=4cos²80°-2=(2cos80°)²-2=α₂²-2

この式から題意のg(x)=x²-2 と推察される。

実際、g(α₂)=α₂²-2=α₁

また、g₂(x)=g(g(x))を求め簡単にして下さい、とは

g₂(x)=g(g(x))=g(x²-2)=(x²-2)²-2=x⁴-4x²+2=x(x³-3x+1)-x²-x+2

であるから、x=αを代入して、f(α)=0より、

g₂(α)=α(α³-3α+1)-α²-α+2=αf(α)+(-α²-α+2)=-α²-α+2

これより、g₂(x)=-x²-x+2

さらにg₃(x)=g(g(g(x)))=(-x²-x+1)²-2=x⁴+2x³-3x²-4x+2=(x+2)f(x)+x

であるから、x=αを代入して、f(α)=0より、g₃(α)=α

これより、g₃(x)=x　となりg₃(x)が最も簡単な式である。

以下、g₄(x)=g₁(x), g₅(x)=g₂(x), g₆(x)=g₃(x), ・・・より

g_n(x)でn=3,6,9,・・・が簡単な式となる。

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失礼しました。

夏休み？

退職したのだから「夏休み」は関係ないかもしれないが、私にとっては「夏休み」に突入。おとといまで３日間学校の夏期講習の手伝いと、昨年度の残務整理をしていた。

昨日はお囃子の稽古の最終日。このあと「夏休み」に入り、夏の終わりに研修会がある。その後は秋の祭り。ということで、しばらくはのんびりと言うか、個人練習ができる。ちょっとほっとした。

数学１,A 終わり

数学Aが終わり、これで数学１と数学Aの復習が終わった。

次は数学２と数学Bにとりかかる。高校数学の復習もだんだんと難しくなる。

式による説明１

「５つの続いた整数の和は５の倍数になります。」このわけを文字を使って説明しなさい。
という問題を考える。以下自習教室で。
Tは私、Sはそのとき質問に来た生徒。やりとりは実際と少し違って脚色してある。あとで流れを変えたり補足した。

T「５つの続いた整数の和は５の倍数になるか？」
S「・・・」
T「すぐには分からないよね。では５つの続いた整数の例を言ってみなさい。」
S「1,2,3,4,5」
T「そうだ。では５つの続いた整数の和は？」
S「1+2+3+4+5=15」
T「５の倍数に？」
S「なる」
T「５つの続いた整数ってこれだけ？」
S「2,3,4,5,6」
T「和は？」
S「2+3+4+5+6=20」
T「５の倍数に？」
S「なる」


T「他には？」
S「11,12,13,14,15」
T「和は？」
S「11+12+13+14+15=65」
T「５の倍数に？」
S「なる」

T「では、どんな５つの続いた整数の和でも５の倍数になるんだよね」
S「・・・」
T「218564+218565+218566+218567+218568でも５の倍数になる？」
S「わからない・・・」
T「ということでこれを文字を使って説明しようとする」
S「どうやって？」
T「５つの続いた整数を文字を使って表すんだ」
S「a, b,c,d,e」

T「おっと待った、違う文字は原則として違う数を表すんだけど・・・」

T「a=1だとするとb=2とはかぎらないんだけど・・・」

S「・・・」

どうやらこの生徒は文字のきまりなどについて良く分かっていないようだ。

教えながら、文字の役割や性質、きまりなどを復習したり教えて行ことになる。

つづく

 

ｇｂさんは・・・

gbさんは、数学に結構詳しい。初めのうちは、連分数の記事からやり取りをしていたが、いつの間にかガロア理論関連のコメントが多くなってきた。かなり専門的なコメントである。

コメントのレベルは高いと思う。数学を良く知らない私から見ると、数学を勉強してきただけの方ではないような気がする。研究者っぽい。
ということは、もしや大学の先生ではないだろうか？また、お使いの言葉の特徴から見ると、退官された方なのかも・・・。といっても大学入試問題の背景についてこだわりを持っているので、大学関係者ではないかも・・・。もしや予備校の元講師？

実はガロアの理論が分かりたくて、いろいろな本を買ったり読んだりしてみたのだが、日本で出ている本の多くは、スマートに書かれているようで、gbさんが指摘するような所は触れられていない。和書でこういう所を扱っている本があったらいいのにと思う。それで私は洋書を探したりもしたことがあった。
ガロアの理論の本を探しているうちに連分数を扱っている本に出会った。これは面白かった。「ガロワと方程式」（朝倉書店　草場公邦著）である。この本で連分数に親しんだ。おかげで、gbさんに出会えたようだ。
もしかしたら、gbさんの導きによって、私でもガロアの理論が分かる時が来るのかも知れない。

私にたくさん問題を出してありがたいのだが、難解で私では答え切れないのであしからず。このブログを見ている人たちのためにはなると思うので、ごく一部は研究し解答もするつもりだ。またコメントよろしくお願いします。

神田へ

７月２３日、元いた学校といっても、今、授業支援員として勤めている学校だが、夏期講習のお手伝いに行った。３年生の確率の補習を手伝ったあと、神田へ。目的は２つ。ガロアの理論に関する本を探す。「将棋四段コース問題集」を探す。
明倫館へ行く。

なかなか目的に合った本は見つからなかったが、１つだけ、

ARS MAGNA or The Rules of Algebra という本。

著者はあの　GIROLAMO CARDANO だ。

もちろんこれは英訳本で、訳者はT.RICHARD WITMERという人。1200円でお買い得。

発行者はDOVER PUBLICATIONS

このほかに連分数に関する洋書もあったが、1900円だったのでやめた。

つぎに、書泉へ行って、数学書を見る。講談社のブルーバックスで「ガロアの群論」を発見。早速購入。ついでに「大学への数学」臨時増刊を購入。そしてお目当ての「四段コース問題集」も手に入れた。

  

楽天地温泉

７月２３日、夏期講習のお手伝いやら、何やらで、元いた学校へ「遊び」に行く。といっても、そこは現在「授業支援員ボランティア」で勤めているところ。

頼まれたのは２年生、方程式がまったく分からないというので教えたが、この顛末は後ほど・・・。

11時半頃学校を去り、錦糸町の楽天地へ。５月の連休明けにリニューアルオープンしたらしい。行ってみると、新しくなっていた。

以前はスーパー銭湯ではめずらしく、「入れ墨」については寛大だったのだが、リニューアルに伴い、「入れ墨禁止」となっていた。

館内は明るく広くなっていた。60分コース1200円を払い、久しぶりの温泉につかった。ここは500円で背中流しとシャンプーをしてくれるので頼んだ。以前は５０代から６０代ちかいおばちゃんがやってくれたが、４０代の方が担当していた。以前の施設はよく知らないという話。

サウナも変って広くなった。リュー何とかというアロマオイル水をヒーターに振りかけてタオルで拡散するのをやってくれた。水蒸気の凝固熱で体感温度が高くなる。確か後楽園のスパでやっていたと思う。都会的な施設になった。

食堂などもあるのだが、60分コースだったので今回は省略。

フロントで清算する。以前は下足番がいて靴をそろえて出してくれたが、今回はそういうサービスはなかった。新しくなったなーと思ったが、昔の下町情緒がなくなってちょっと寂しかった。

オランダ・ベルギー１４（７日目８月２２日（土）午前）

８月22日（土）は朝からアムステルダム自由行動。

17：00までにホテルに戻ってくればよい。

ホテルの部屋の洗面所にあった鏡。凹面鏡になっていて、顔を映すと毛穴やひげがよく見えた。


朝食の画像は省略。前日と同じだから。

ホテルとスキポール駅を結ぶシャトルバス


アムステルダム駅構内だったと思う。



アムステルダム駅だったかな？前日のブログにもあった。もしか違っているかも・・・。


「涙の塔」だと思う。海に出る東インド会社の男たちを、女達が涙を流して見送った場所といわれる、涙の塔。



アムステルダム駅を北に見て、西側の通りを行く。


運河の風景


町並み


市場


レンブラントの家




オランダでは珍しくない跳ね橋



運河の風景がきれいだった。


このあとどこへ行こうか、ということで、アムステルダム大学に行けばきっと木陰があったりするのではと思って進むと、こんな銅像が。ここらの木陰で一休み。日射しが結構あったので。


銅像付近のベンチで休んでいたら、入れ墨をした男が近づいて来た。３人ほど一緒で、男２人女１人だったかな。始めに女が近づいて来た、そのあと男。ちょっと警戒したが、何のことはなかった。
Where are you from? と話しかけて来た。
アムステルダムに住んでいて、女の人は奥さんだった。結構盛り上がっていてお酒を飲んでたみたい。あちらでは入れ墨は普通のようだった。
写真とっておけばよかったかも・・・。

繁華街。ここの中にあるサンドイッチ屋で食事とトイレを済ませた。


このあと午後アムステルダム大学へ。

ミニトマト

我が家の庭にミニトマトが植えられている。女房が植えて、ていねいに育てたもの。私は出来上がったトマトをいただくだけ。撮影は７月６日だったから、今はもっと熟していて赤くなっている。


こんなにきれいに並んで成っているなんて初めて見た。退職してのんびり庭を見る時間が出来たおかげか。
ミニトマトは毎年植えていたのに気づかなかった。






改めて自然の恵みに感謝。
今年のは例年より実が大きくて、甘くておいしい。