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「長方形を縦横に垂直な線で区切ったときできる４領域について、４領域のうち
2領域の面積の合計がその長方形全体の面積の半分であれば、縦横どちらかの直線
は長方形の中心を通る。」
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今度は座標平面を使って性質を証明してみよう。
４領域のうち２領域が横に並ぶ場合や縦に並ぶ場合は明らかなので、斜めに並ぶ場合について
考える。
長方形の中心を原点Oの位置に置き、横の長さを2a, 縦の長さを2bとする。するとこの図のような位置関係になる。
点Pの座標を(x,y)として、点Pを通る縦横の直線でこの長方形を区切る。
左上の影をつけた長方形の面積をS、右下の面積をS’とする。
S=(x+a)(b-y)=bx-xy+ab-ay
S'=(a-x)(y+b)=ay+ab-xy-bx
であるから
S+S'=2ab-2xy ・・・・(1)
ここで全体の長方形の面積は 横が2a、縦が2bであるから、2a×2b＝4ab
S+S'が全体の長方形の面積4abの半分の2abであるためには
(1) より、S+S'=2ab-2xy＝2ab
これより 2xy=0 を得る。
すなわち、 x=0 または y＝0
これは縦横の区切りの線のうち少なくとも一方は長方形の中心を通ることを表す。
おわり
