ガロア理論の定理
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K ⊂ L のガロア拡大 L/K における中間体 M があり、
M の固定部分群を H ⊂ G=Gal(L/K)とします。
この時、
M/K がガロア拡大である必要十分条件は
HがGの正規部分群になることである。
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この証明は理解出来た。問題はそのあと
「M/K のガロア群 Gal(M/K) が剰余群G/H と同型になる」
ということなのだが、これも理解出来ている。
このM/K のガロア群 Gal(M/K) が実際に方程式を解く時に、
「補助方程式」のガロア群になっているらしいのだが、
ここら辺りがリアルに理解できていない。
具体的な内容が欲しい。
ここがリアルに分かってくると、この後の可解群
や冪根拡大のところの理解が深まるのだと思った。
ガロア理論によると正規部分群の縮小列があり、
剰余群が生み出され、それらが巡回群になっている
のが可解群。
これと対応する中間体の拡大列があり、拡大列
が冪根を添加した拡大（冪根拡大）であり、拡大が終結する
とき、拡大体は方程式の分解体になる。
そして、正規部分群の縮小は終結し単位元のみの群になる。
分解拡大体の元はそれまでの冪根を含み、それらの冪根と
体の元の四則で方程式の根が代数的に表せるということである。
合っているかどうか分からないが、これが方程式が解ける
というあらすじであると理解している。５次以上の方程式
には可解群の縮小列が作れないそうだ。
可解群の列と冪根拡大との関連の具体例が欲しい。
ガロア理論に出会ってから５０年が経った。
もう少しでガロア理論が分かりそうだ。
