内接する球

　そろそろ受験の時期。学校へ行くと、私立の推薦入試が近い。ちょっとした筆記試験も要求される学校もある。さっそく質問がきた。
　「一辺が２の正八面体に内接する球の半径を求めよ。」という問題。立体の見取り図をかいて説明。うまく説明ができた。
　ただし・・・。球との接点が説面の正三角形の重心になっていることを前提として説明し解答を得たが、ここはもう少しつめて検討しなくては行けない所だった。

　自宅に戻ってから、「接点が重心になる」という前提を使わずに解いてみたら解けた。その結果を使えば、接点が重心ということも証明できた。
　その後、思いついたのは、接点の半径をr、正八面体の表面積、体積をそれぞれS、Vとすれば、
V=1/3×rS ということ。これを使っても同じ結果になることが分かった。
　正多面体と内接する球については勉強すると面白い。この手の問題は知っていると得をするので、知っている知らないの差がついて、受験問題にはふさわしくないかもしれない。