円周角の定理の逆 続き

２月２３日以来続きを書いていない。図が面倒だからだ。
「円周角の定理の逆」で記事を書いた。



一般には４点を同時に通る円はかけない。

３点を通る円はかけるので、A,B,Pを通る円とA,B,Qを通る円２つの円について考える。

A,B,Pを通る円をかいて、円の中心をOとし、三角形OABをつくる。


同様にA,B,Qを通る円をかき、その中心をO'とし、三角形O'ABをつくる。


すると、∠APB = ∠AQB であるから
∠AOB=2∠APB=2∠AQB=∠AO'B となり

∠AOB=∠AO'B　が成り立つ。

三角形OABと三角形O'ABはともに二等辺三角形であるから、
その頂角が等しいので底角も等しい。
したがって、
三角形三角形OABと三角形O'ABにおいて
∠OAB=∠O'AB
∠OBA=∠O'BA
またABは共通
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから
三角形OAB≡三角形O'AB

２つの三角形が合同であるから、２つの円の中心OとO'は重なることがわかる。
OA=O'Aであるから、２つの円OとO'は重なり、一つの円であることが言える。

　この証明背理法を使わないのと、仮定の条件∠APB=∠AQBの働きが
分かりやすいので良いと思う。時間講師のときに思いついた。
念のためにネットで調べた所、同じ証明を見つけた。ここ。