多角形の内角の和２

2006年11月11日の記事。


かいた百角形に対角線を引いて、三角形に分割することに・・・。

「１つの頂点」から対角線をひくのだが、その頂点を上手く選ぶことがここでのコツ。
最初にひく対角線を「頂点１」に向かって引くために、「頂点９９」に着目。
ここから対角線を引くと説明しやすい。

　

「頂点９９から対角線を引こうと思います。どこに引けるかな・・・。？」
「ここは無理だよね。（頂点１００を指す）」
「ここからか。（頂点１を指す）」

生徒の一人「ああ、そうか・・・」
生徒もう一人「となりは引けないんだ。」

「頂点９９から頂点１に１本目の対角線を引きま～す。」
「つぎは頂点２に２本目の対角線を引きま～す。」
「頂点３に３本目の対角線を引きま～す。」

ここらあたりで生徒は感づく。

生徒「ああ、９７本だ。」

「分かった？どうして？」
生徒「９９からは９９のところと１００と９８は引けないから、引ける頂点は９９個。」
「その通り！。自分自身ととなりで３つの頂点にはひけない。引ける頂点は９９－３で９７個。
だから９７本引ける。」
「では、何で三角形は９８個できるの？本当にできる？」

生徒「・・・」

「頂点９９から対角線を引くたびに、引いた方向に向かって右側に三角形が
一つずつ出来るよね。」（ここは生徒に発言させるべきだったな・・・）

生徒「？」
「ほら、頂点５のところに対角線を引くと、矢印の方向にね。９９から５の方を見て右側ね。
こっち（丸数字５を示す）に５つ三角形ができてるね。」
生徒「はい」

「で、６、７と対角線を引きます。点々でかいているけど、
頂点９５に引いたところで９５個の三角形ができますね。」
生徒「（納得した顔）はい。」



三角形は全部で９８個できます。どうしてでしょうか？
生徒はこの時点で分かってくれました。
（続く）