直方体サイコロ問題の解答

解答
　確率が1/9、1/4以外の面の確率は(1-(1/9+1/4))/2=5/36

確率が1/9、1/4、5/36の面の数を、(a,b),(c,d),(e,f) とする。

期待値が３であるから
1/9(a+b)+1/4(c+d)+5/36(e+f)=3 ....(1)

またa～fは1～6であるから
(a+b)+(c+d)+(e+f)=21 ....(2)

(1)×36 4(a+b)+9(c+d)+5(e+f)=108
(2)× 4 4(a+b)+4(c+d)+4(e+f)= 84

両辺をそれぞれ引けば、5(c+d)+(e+f)=24

ここでc+d, e+f が３以上であるから、　c+d=3, 4

i) c+d=3のとき（c,dが1,2）　
　 e+f=9 するとe,fは3,6または4,5
　 e,fが3,6なら求める数は６

　e,f が4,5なら、a,bが3,6でこの場合でも求める数は６

ii) c+d=4のとき（c,dが1,3）
e+f=4であるからe,fも1,3であるが、これはありえない。

以上から、３の反対側の数は６