公式を使った因数分解

かつての記事を書き直した。

公式を利用して因数分解するところで、つっかえる生徒がいる。因数分解といえば展開の逆である。

( x + 1 ) ( x + 2 ) = x ^2 + 3 x + 2 であるから

x ^2 + 3 x + 2 = ( x + 1 ) ( x + 2 )　

　これが因数分解である、と言われてもなかなか納得してくれない。

今年は一案として

　　３×４＝１２を例にとった。

　１２＝３×４と１２を２数以上の数の積にしたとき、３と４を１２の因数と言う。

　１２＝２×６ならこの場面で、２と６を１２の因数という。特に２は素因数である。
すでに平方根のところで素因数分解の意味や有用性を教えてあるので
１２＝３×４と２数の積に分解することの意味はなんとなく分かってくれる。

ここで、 ( x + 1 ) ( x + 2 ) = x ^2 + 3 x + 2　を x = 2 とすると、この等式は

( 2 + 1 ) ( 2 + 2 ) = 2 ^2 + 3×2 + 2であるから

　　　３×４＝１２　という等式になる。ここで

　１２を２数の積にすることを考え、　１２＝３×４の場合を考えると

　x = 2　のとき、
１２はx ^2 + 3 x + 2
３×４は ( x + 1 ) ( x + 2 )

したがって、x ^2 + 3 x + 2 = ( x + 1 ) ( x + 2 )

ここで、１２＝３×４になぞらえて、
x + 1， x + 2 は x ^2 + 3 x + 2 の因数であると説明した。

また、x = 10 とすると十進法の関係でこんな説明ができる。

( x + 1 ) ( x + 2 ) = １１×１２

x ^2 + 3 x + 2= １３２　　となっている。（左辺の係数１，３，２　に注意）　　　

１３２＝１１×１２から
x ^2 + 3 x + 2の因数分解は( x + 1 ) ( x + 2 )であることは納得できるであろう。

こうした「地ならし」をしてから公式を利用した因数分解を教える。

x ^2 + 5 x + 6 = ( x + a ) ( x + b ) で，２数a，bを見つければいい、と教える。

因数分解は展開の逆ではあるが、１つの多項式を２つの因数の積で表すことに
意味や有用性があるのだということを教える必要がある。