フェルマー点についての記事
この点から三角形の頂点までの距離の和が最小になるという
その証明
高校数学の美しい物語というサイトからのパクリ
この中の初等幾何による証明方法を
ここで再構成。
方法
線分の和を最小化する問題は多くの場合 線分和を同じ長さの折れ線に移して，
「折れ線は直線のときに最小になる」という性質を用いることで解決します。
図はサイトからコピー。
(1)三角形の内部の点を P とする。
P と頂点 C を 「A を中心として反時計回りに 60度回転させた点」を Q,D とおく。
三角形 APQ,ACD は正三角形となる。
三角形 APC と AQD は2辺とその間の角がそれぞれ等しいので合同となり，
PC=QD
よって，
AP+BP+CP=BP+PQ+QD ≧ BD
この不等式は任意の内部の点 P に対して成立する。
三角形 ABC の最大角が 120 度未満のとき，内部の点
P をうまく選ぶと B,P,Q,D がこの順で一直線上に並び，
上記不等式で等号が成立する。
このとき，
∠APB=180°−∠APQ=120°
∠APC=∠AQD=180° −∠AQP=120°
(2)点Pの選び方
うまく選ぶとB,P,Q,D がこの順で一直線上に並ぶのだから
点PはAD上にある。すなわち、AD上に点Pを取れば良い。
点Pを∠APD=60° となるようにとり, 点Qを AQ=AP になるように取れば
三角形 APQは正三角形となる。
三角形ACDは証明(1)のように描けば正三角形になるから,
証明(1)により
AP+BP+CP=BP+PQ+QD = BD
が成り立つ。
同じ論議を頂点B, C について行えば、以下の作図より点Pが求まる。
作図
三角形の3辺に対し、それぞれを1辺とする正三角形を三角形の外側に描く。
元の三角形の１つの頂点と，その対辺を一辺とする正三角形の頂点のうち，
もとの三角形と共有しない頂点とを結ぶ。
結んだ3直線上に点Pがあるから, ３直線は１点Pで交わる。
証明終わり
パクリでなく、もう少し自分で構成した証明をアップする予定
