昨日アップした確率の計算の検証
高校数学になるが、私が高校生だった頃、教科書には
あったが、入試の範囲外だったので習ってなかった。
下の学年ではカリキュラムが新しくなり、習っていた。
浪人したので、入試範囲になり、予備校で習うことに。
お年玉付き年賀はがき
3等 お年玉切手シート 下2けた 73番 42番 11番
だったが、下２けたは00から99まで100通りある。
その中で３通りが当たりだから、１枚のはがきが３等に当たる確率は
3/100=0.03
では、100枚のはがきがあり、その中で１枚だけ当たる確率は？
100枚あれば１枚くらい必ず当たるだろう、というのが普通に
考えられるが、数学を使って計算するとそうではない。
100枚のうち１枚だけ当たるというのは
「１枚だけ当たり、99枚がはずれ」ということだ。
100枚のはがきに番号をつけて区別しておくと、
例えば１番のはがきだけが当たるには
１番が当たりで
２番から100番までの99枚すべてがはずれる。
このことが起こる確率を順に考える
１番が当たる確率0.03に２番がはずれ
はずれる確率は1-0.03=0.97
だから１番当たり、２番はずれの確率は0.03×0.97
同様に、１番当たり、２番はずれ、３番はずれの確率は0.03×0.97×0.97
以下、１番当たりでのこりの99枚はずれの確率は0.03×0.97^99
0.97^99は0.97の99乗、つまり0.97を99個掛け合わせること。
次に２番だけ当たりで残り99枚はずれの確率は0.03×0.97^99
同様に３番、４番から100番まで考える。
こうして100枚のうち１枚だけ当たる確率は、これら100通りの和
つまり0.03×0.97^99の100倍になる。
だから、求める確率は
100×0.03×0.97^(99)
=0.14706961214
３枚当たる確率は100枚のうち３枚が当たり、
97枚がはずれるから、
仮に1、2、3番が当たり、４番から100番がはずれなら
１、2、3が当たる確率は0.03×0.03×0.03=0.03^3
それ以外がはずれる確率は0.97^97
100枚中のある３枚に注目して、その３枚が当たり、
残りがはずれる確率は0.03^3×0.97^97
こういうことは100枚中３枚を選ぶ選び方の数だけある
100枚中３枚を選ぶ選び方は
100×99×98÷(1×2×3)通り
（この式については後日説明する予定）
だから、100枚中３枚が当たる確率は
100×99×98÷(1×2×3)×0.03^(3)×0.97^(97)
=0.227474127482
年賀はがきは100枚中の３枚の当たりがあるが、
100枚受け取ったとしても、必ずしも３枚当たるとは限らない。
現象を数学という道具を使って観察すると、意外なことが分かる。
